Сегодня, по совету коллеги, решил продолжить вчерашний эксперимент СПРАВИТСЯ ЛИ CHATGPT С ЦТ ПО МАТЕМАТИКЕ? ЧАСТЬ 1 и посмотреть на как справится gemini с ЦТ по математике.
Проверю, как gemini справится с ЦТ по математике за 2024 год:
- Прошу решить задачу самым обыкновенным запросом: «Реши следующую задачу с описанием решения на русском языке!».
- Публикую решение без его проверки и анализа (прикрепляю файлом).
- Сверяю ответы.
- Озвучиваю итоговый результат.
- Публикую «как есть» и внимательно читаю ваши комментарии и мысли.
- Думаю над тем, что получилось и что с этим делать.
ИИ Решение:
-
Определим цену деления:
- На отрезке от 0 до 1 расположено 10 делений.
- Значит, цена одного деления равна 1 / 10 = 0,1.
-
Найдем координату каждой точки:
- A: 1 + 5 * 0,1 = 1,5
- B: 1 + 6 * 0,1 = 1,6
- C: 1 + 3 * 0,1 = 1,3
- D: 0 * 0,1 = 0
- E: 1 + 8 * 0,1 = 1,8
-
Сравним координаты с заданным числом:
- Координата точки B равна 1,6, что совпадает с заданным числом.
Ответ:
Числу 1,6 на координатной прямой соответствует точка B (вариант ответа №2).
ИИ Решение:
-
Анализ плоскости DSO:
- Плоскость DSO проходит через точку D, вершину пирамиды S и точку O (центр основания).
- Значит, эта плоскость содержит диагональ основания BD.
-
Анализ плоскости SCB:
- Плоскость SCB проходит через вершину пирамиды S и сторону основания CB.
-
Поиск линии пересечения:
- Обе плоскости (DSO и SCB) содержат точку S.
- Плоскость DSO содержит диагональ BD, а плоскость SCB содержит сторону CB.
- Диагональ BD и сторона CB пересекаются в точке B.
- Следовательно, линия пересечения плоскостей DSO и SCB проходит через точки S и B.
Ответ:
Прямая, по которой пересекаются плоскости DSO и SCB, — это прямая SB (вариант ответа №4).
ИИ Решение:
-
Вспомним определение синуса:
- Синус угла x (sinx) — это ордината точки, находящейся на единичной окружности, соответствующая углу x.
-
Когда синус равен нулю?
- Синус равен нулю, когда точка на единичной окружности находится на горизонтальной оси (ось абсцисс).
- Это происходит при углах, кратных π (180 градусов), то есть 0, ±π, ±2π, ±3π и т.д.
-
Проверим каждое значение аргумента:
- -π/6: sin(-π/6) = -1/2 (не равно 0)
- π/4: sin(π/4) = √2/2 (не равно 0)
- π/3: sin(π/3) = √3/2 (не равно 0)
- 3π/2: sin(3π/2) = -1 (не равно 0)
- -6π: sin(-6π) = 0 (равно 0)
Ответ:
Значение функции y = sinx равно нулю при значении аргумента -6π (вариант ответа №5).
ИИ Решение:
-
Вспомним формулу деления с остатком:
- Делимое = Делитель * Неполное частное + Остаток
-
Подставим известные значения:
- Делимое = n
- Делитель = 15
- Неполное частное = k
- Остаток = 7
-
Запишем формулу:
- n = 15 * k + 7
Ответ:
Формула, по которой можно найти делимое n, имеет вид n = 15k + 7 (вариант ответа №3).
ИИ Решение:
-
Вспомним теорему Виета: Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 произведение корней равно c/a.
-
Проверим каждое уравнение:
-
(x^{2}-6x+5=0)
- a = 1, c = 5
- Произведение корней: 5/1 = 5 (подходит)
-
(x^{2}-4x+5=0)
- a = 1, c = 5
- Произведение корней: 5/1 = 5 (подходит)
-
(x^{2}-5x+6=0)
- a = 1, c = 6
- Произведение корней: 6/1 = 6 (не подходит)
-
(x^{2}+5x=0)
- a = 1, c = 0
- Произведение корней: 0/1 = 0 (не подходит)
-
(x^{2}-5=0)
- a = 1, c = -5
- Произведение корней: -5/1 = -5 (не подходит)
-
-
Оба уравнения (1 и 2) имеют произведение корней равное 5.
- Однако, составители задачи скорее всего предполагали единственный верный ответ.
- Уравнение №1 имеет корни x₁ = 1 и x₂ = 5 (действительные).
- Уравнение №2 имеет корни x₁ = 2 + i и x₂ = 2 — i (комплексные).
Ответ:
Произведение действительных корней равно 5 у уравнения (x^{2}-6x+5=0) (вариант ответа №1).
ИИ Решение:
Анализ рисунка:
На рисунке изображен промежуток от -6 (не включая -6) до 9 (включая 9). То есть, это интервал (-6; 9].
Проверка вариантов:
-
(-6; +∞) и (-6; 9]:
- (-6; +∞) — это все числа больше -6.
- (-6; 9] — это все числа больше -6 и до 9 включительно.
- Объединение этих промежутков дает (-6; +∞), что не совпадает с рисунком. (Не подходит)
-
(-6; 0) и [0; 9]:
- (-6; 0) — это все числа больше -6 и меньше 0.
- [0; 9] — это все числа от 0 до 9 включительно.
- Объединение этих промежутков дает (-6; 9], что совпадает с рисунком. (Подходит)
-
(-∞; -6) и (-∞; 9]:
- (-∞; -6) — это все числа меньше -6.
- (-∞; 9] — это все числа меньше 9 включительно.
- Объединение этих промежутков дает (-∞; 9], что не совпадает с рисунком. (Не подходит)
-
(-6; 9] и (0; 4):
- (-6; 9] — это все числа больше -6 и до 9 включительно.
- (0; 4) — это все числа больше 0 и меньше 4.
- Объединение этих промежутков не дает (-6; 9], так как числа от -6 до 0 не будут покрыты полностью. (Не подходит)
-
(-∞; 9] и (-6; +∞):
- (-∞; 9] — это все числа меньше 9 включительно.
- (-6; +∞) — это все числа больше -6.
- Объединение этих промежутков дает (-∞; +∞), что не совпадает с рисунком. (Не подходит)
Ответ:
Подходит только вариант №2: (-6; 0) и [0; 9].
ИИ Решение:
-
Переведем рубли в копейки:
- В 1 рубле 100 копеек.
- У Толи было 6 рублей, значит, у него было 6 * 100 = 600 копеек.
-
Найдем стоимость альбомов:
- Один альбом стоит 1 р. 20 к. = 120 к.
- Толя купил 3 альбома, значит, их стоимость равна 3 * 120 = 360 копеек.
-
Найдем стоимость карандашей:
- Один карандаш стоит 25 копеек.
- Толя купил 5 карандашей, значит, их стоимость равна 5 * 25 = 125 копеек.
-
Найдем общую стоимость покупки:
- Общая стоимость покупки равна стоимости альбомов плюс стоимость карандашей: 360 + 125 = 485 копеек.
-
Найдем, сколько денег осталось у Толи:
- У Толи было 600 копеек, а покупка стоила 485 копеек.
- Значит, у него осталось 600 — 485 = 115 копеек.
Ответ:
У Толи осталось 115 копеек (вариант ответа №1).
ИИ Решение:
-
Вычислим (\arcsin(-1)):
- (\arcsin(x)) — это угол, синус которого равен x.
- Мы ищем угол, синус которого равен -1.
- Этот угол равен (-\frac{\pi}{2}) или -90 градусов.
-
Вычислим (\frac{38}{\pi} \cdot \arcsin(-1)):
- (\frac{38}{\pi} \cdot \arcsin(-1) = \frac{38}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -19)
-
Вычислим (-|-7|):
- Модуль числа |-7| равен 7.
- Значит, -|-7| = -7.
-
Вычислим все выражение:
- (\frac{38}{\pi} \cdot \arcsin(-1) — |-7| = -19 — 7 = -26)
Ответ:
Значение выражения равно -26 (вариант ответа №5).
ИИ Решение:
-
Найдем сторону квадрата:
- Диагональ квадрата связана со стороной (a) соотношением: d = a√2.
- 8 = a√2
- a = 8/√2 = 4√2
-
Найдем радиус сферы (R):
- Радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен плоскости α.
- Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы (R), расстоянием от центра сферы до вершины квадрата (4√2) и половиной диагонали квадрата (4).
- По теореме Пифагора: R² + 4² = (4√2)²
- R² + 16 = 32
- R² = 16
- R = 4
-
Найдем площадь сферы:
- Площадь сферы (S) находится по формуле: S = 4πR²
- S = 4π * 4² = 64π
Ответ:
Площадь сферы равна 64π (вариант ответа №3).
ИИ Решение:
-
Проверим каждое выражение:
-
(\frac{1}{\sqrt[5]{a-6}}):
- При a = -6 выражение превращается в (\frac{1}{\sqrt[5]{-6-6}} = \frac{1}{\sqrt[5]{-12}}).
- Корень пятой степени из отрицательного числа существует, поэтому выражение имеет смысл.
-
(\sqrt{a^{5}}):
- При a = -6 выражение превращается в (\sqrt{(-6)^{5}} = \sqrt{-7776}).
- Корень четной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел, поэтому выражение не имеет смысла.
-
(\sqrt[5]{a}):
- При a = -6 выражение превращается в (\sqrt[5]{-6}).
- Корень пятой степени из отрицательного числа существует, поэтому выражение имеет смысл.
-
(\frac{1}{\sqrt[6]{a-6}}):
- При a = -6 выражение превращается в (\frac{1}{\sqrt[6]{-6-6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{-12}}).
- Корень четной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел, поэтому выражение не имеет смысла.
-
(\sqrt[6]{a}):
- При a = -6 выражение превращается в (\sqrt[6]{-6}).
- Корень четной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел, поэтому выражение не имеет смысла.
-
Ответ:
Имеют смысл выражения под номерами 1 и 3 (варианты ответа №1 и №3).
ИИ Решение:
. Проверим каждое утверждение:
-
Утверждение 1: расстояние от точки (C_1) до прямой AB равно длине отрезка (BC_1).
- Неверно. (BC_1) — наклонная к плоскости (A_1B_1C_1), а расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром. Перпендикуляр от (C_1) к AB будет меньше, чем (BC_1).
-
Утверждение 2: расстояние от точки (C_1) до прямой AB равно длине отрезка (C_1M).
- Неверно. (C_1M) не перпендикулярно AB.
-
Утверждение 3: расстояние от точки A до прямой BC равно длине отрезка AB.
- Верно. Так как (\angle ABC = 90^\circ), AB перпендикулярно BC.
-
Утверждение 4: расстояние между прямыми (BB_1) и (CC_1) равно длине отрезка (BC_1).
- Неверно. (BB_1) и (CC_1) параллельны, расстояние между ними равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой, например, от B до (CC_1). (BC_1) — наклонная.
-
Утверждение 5: расстояние между прямыми (A_1B_1) и AB равно длине отрезка (AA_1).
- Верно. (AA_1) перпендикулярно плоскости, в которой лежат (A_1B_1) и AB.
-
Утверждение 6: расстояние от точки B до прямой AC равно длине отрезка BC.
- Верно. Так как (\angle ABC = 90^\circ), BC перпендикулярно AC.
2. Записываем ответ:
Верные утверждения: 3, 5, 6.
Ответ: 356.
ИИ Решение:
А) Точка пересечения с осью ординат:
- Точка пересечения графика функции с осью ординат находится при x = 0.
- Подставим x = 0 в уравнение функции: f(0) = 0² + 4*0 — 5 = -5.
- Точка пересечения с осью ординат имеет координаты (0; -5).
- Сумма координат точки пересечения равна 0 + (-5) = -5.
Б) Сумма нулей функции:
- Нули функции — это значения x, при которых f(x) = 0.
- Решим квадратное уравнение: x² + 4x — 5 = 0.
- По теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна -b/a.
- В нашем случае, a = 1, b = 4, c = -5.
- Сумма нулей функции равна -4/1 = -4.
В) Наименьшее значение функции:
- График функции f(x) = x² + 4x — 5 является параболой, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при x² положительный).
- Наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.
- Абсцисса вершины параболы находится по формуле: x_в = -b / 2a.
- В нашем случае, x_в = -4 / 2*1 = -2.
- Подставим x_в = -2 в уравнение функции, чтобы найти наименьшее значение: f(-2) = (-2)² + 4*(-2) — 5 = 4 — 8 — 5 = -9.
Ответ:
А5Б2В4
ИИ Решение:
-
Найдем первое число, кратное 9 и больше 141:
- Разделим 141 на 9: 141 / 9 = 15,666…
- Ближайшее целое число больше 15,666… равно 16.
- Первое число, кратное 9 и больше 141, равно 16 * 9 = 144.
-
Найдем последнее число, кратное 9 и меньше 170:
- Разделим 170 на 9: 170 / 9 = 18,888…
- Ближайшее целое число меньше 18,888… равно 18.
- Последнее число, кратное 9 и меньше 170, равно 18 * 9 = 162.
-
Найдем все числа, кратные 9, больше 141 и меньше 170:
- Это числа: 144, 153, 162.
-
Найдем сумму этих чисел:
- 144 + 153 + 162 = 459.
Ответ:
Сумма всех натуральных чисел, которые кратны 9 и больше 141, но меньше 170, равна 459.
ИИ Решение:
-
Найдем cos α:
- Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin²α + cos²α = 1.
- cos²α = 1 — sin²α = 1 — (\frac{1}{25}) = (\frac{24}{25}).
- cos α = ±(\sqrt{\frac{24}{25}}) = ±(\frac{2\sqrt{6}}{5}).
- Поскольку нам не дано никаких уточнений относительно знака cos α, рассмотрим оба варианта.
-
Найдем ctg α:
- ctg α = (\frac{cos α}{sin α}).
- Если cos α = (\frac{2\sqrt{6}}{5}), то ctg α = (\frac{2\sqrt{6}}{5}) / (\frac{1}{5}) = 2(\sqrt{6}).
- Если cos α = -(\frac{2\sqrt{6}}{5}), то ctg α = -(\frac{2\sqrt{6}}{5}) / (\frac{1}{5}) = -2(\sqrt{6}).
-
Найдем ctg2α:
- Воспользуемся формулой для ctg двойного угла: ctg2α = (\frac{ctg²α — 1}{2 ctg α}).
- Вариант 1: Если ctg α = 2(\sqrt{6}), то ctg2α = (\frac{(2\sqrt{6})² — 1}{2 * 2\sqrt{6}}) = (\frac{24 — 1}{4\sqrt{6}}) = (\frac{23}{4\sqrt{6}}) = (\frac{23\sqrt{6}}{24}).
- Вариант 2: Если ctg α = -2(\sqrt{6}), то ctg2α = (\frac{(-2\sqrt{6})² — 1}{2 * (-2\sqrt{6})}) = (\frac{24 — 1}{-4\sqrt{6}}) = -(\frac{23}{4\sqrt{6}}) = -(\frac{23\sqrt{6}}{24}).
Ответ:
В зависимости от знака cos α, ctg2α может принимать два значения: (\frac{23\sqrt{6}}{24}) или -(\frac{23\sqrt{6}}{24}).
Поскольку в задании sin α = (\frac{1}{5}), угол α может находиться в первой или второй четверти. В первой четверти cos α > 0, во второй cos α < 0. Соответственно, получаем два варианта ответа.
ИИ Решение:
-
Определим гипотенузу AB:
- Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы.
- Радиус этой окружности равен половине гипотенузы.
- Значит, длина гипотенузы AB равна 2 * (18\sqrt{2}) = (36\sqrt{2}).
-
Найдем косинус угла ACB (cos∠ACB):
- В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
- cos∠ACB = BC / AB = (\frac{6\sqrt{2}}{36\sqrt{2}}) = (\frac{6}{36}) = (\frac{1}{6}).
-
Вычислим значение выражения 90 — cos∠ACB:
- 90 — cos∠ACB = 90 — (\frac{1}{6}) = (\frac{540}{6}) — (\frac{1}{6}) = (\frac{539}{6}) = 89(\frac{5}{6}).
Ответ:
Значение выражения 90 — cos∠ACB равно 89(\frac{5}{6}) или (\frac{539}{6}).
ИИ Решение:
-
Найдем знаменатель прогрессии (q):
- В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель.
- Значит, шестой член равен пятому члену, умноженному на знаменатель: 96 = 48 * q q = 96 / 48 = 2
-
Найдем первый член прогрессии (b1):
- Пятый член можно выразить через первый член и знаменатель: b5 = b1 * q^4.
- Подставим известные значения: 48 = b1 * 2^4
- 48 = b1 * 16
- b1 = 48 / 16 = 3
-
Найдем сумму четырех первых членов прогрессии (S4):
- Сумма n первых членов геометрической прогрессии находится по формуле: Sn = b1 * (q^n — 1) / (q — 1)
- Подставим известные значения: S4 = 3 * (2^4 — 1) / (2 — 1)
- S4 = 3 * (16 — 1) / 1
- S4 = 3 * 15 = 45
Ответ:
Сумма четырех первых членов геометрической прогрессии равна 45.
ИИ Решение:
-
Переведем рубли в копейки:
- В 1 рубле 100 копеек.
- Проездной билет стоит 39 * 100 = 3900 копеек.
-
Найдем 75% от стоимости поездок:
- 75% = 0,75
- 75% от суммы денег, потраченных на поездки, равны стоимости проездного билета, то есть 3900 копеек.
-
Найдем общую сумму, потраченную на поездки:
- Пусть x — общая сумма, потраченная на поездки.
- 0,75x = 3900
- x = 3900 / 0,75 = 5200 копеек.
-
Найдем количество поездок:
- Одна поездка стоит 80 копеек.
- Количество поездок равно общей сумме, деленной на стоимость одной поездки: 5200 / 80 = 65.
Ответ:
Маша совершила 65 поездок на автобусе за месяц.
ИИ Решение:
-
Решим двойное неравенство:
- Умножим все части неравенства на 2: -64 ≤ 3x — 2 < 54
- Прибавим 2 ко всем частям неравенства: -62 ≤ 3x < 56
- Разделим все части неравенства на 3: -(\frac{62}{3}) ≤ x < (\frac{56}{3})
- -20,666… ≤ x < 18,666…
-
Найдем наименьшее целое решение:
- Наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно -20.
-
Найдем наибольшее целое решение:
- Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно 18.
-
Найдем сумму наименьшего и наибольшего целых решений:
- -20 + 18 = -2.
Ответ:
Сумма наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства равна -2.
ИИ Решение:
Решение задачи:
Условие:
Функция y = f(x) определена на множестве действительных чисел. Точки A(3; -2/3) и B(6; -3/4) принадлежат графику данной функции. Найдите значение выражения 6f(-3) + 8f(-6), если известно, что график функции y = f(x) симметричен относительно оси ординат.
Решение:
-
Свойство симметрии относительно оси ординат:
- Если график функции симметричен относительно оси ординат, то для любой точки (x; y) на графике точка (-x; y) также будет принадлежать графику.
- Это означает, что f(-x) = f(x) для всех x.
-
Найдем f(-3) и f(-6):
- Так как график симметричен относительно оси ординат, то f(-3) = f(3) и f(-6) = f(6).
- Из условия задачи нам дано, что f(3) = -2/3 и f(6) = -3/4.
- Следовательно, f(-3) = -2/3 и f(-6) = -3/4.
-
Вычислим значение выражения:
- 6f(-3) + 8f(-6) = 6 * (-2/3) + 8 * (-3/4) = -4 — 6 = -10.
Ответ:
Значение выражения 6f(-3) + 8f(-6) равно -10.
ИИ Решение:
- Связь радиуса вписанной окружности с площадью правильного шестиугольника:
Площадь правильного шестиугольника можно найти, зная радиус вписанной окружности (r) и сторону шестиугольника (a):
S = (\frac{1}{2}) * P * r,
где P — периметр шестиугольника.
Периметр правильного шестиугольника равен 6a.
Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник связан со стороной шестиугольника формулой:
r = (\frac{\sqrt{3}}{2}) * a
Отсюда выразим сторону a через радиус r:
a = (\frac{2r}{\sqrt{3}})
- Выразим площадь шестиугольника через радиус вписанной окружности:
Подставим выражение для a в формулу площади:
S = (\frac{1}{2}) * 6a * r = 3ar = 3 * (\frac{2r}{\sqrt{3}}) * r = (\frac{6r^2}{\sqrt{3}}) = 2(\sqrt{3})r²
- Подставим значение радиуса и найдем площадь:
r = (7\sqrt{3})
S = 2(\sqrt{3}) * (7(\sqrt{3}))² = 2(\sqrt{3}) * 49 * 3 = 294(\sqrt{3})
- Найдем значение выражения (\frac{S}{\sqrt{3}}):
(\frac{S}{\sqrt{3}}) = (\frac{294\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) = 294
Ответ:
Значение выражения (\frac{S}{\sqrt{3}}) равно 294.
ИИ Решение:
-
Упростим правую часть уравнения:
- log₂24 — log₂3 = log₂(24/3) = log₂8 = 3.
-
Перепишем уравнение:
- log₂²x — 2log₂x = 3.
-
Сделаем замену переменной:
- Пусть y = log₂x. Тогда уравнение примет вид: y² — 2y = 3.
-
Решим квадратное уравнение:
- y² — 2y — 3 = 0.
- (y — 3)(y + 1) = 0.
- y₁ = 3, y₂ = -1.
-
Вернемся к исходной переменной:
- log₂x₁ = 3.
- x₁ = 2³ = 8.
- log₂x₂ = -1.
- x₂ = 2⁻¹ = 1/2.
-
Найдем произведение корней:
- x₁ * x₂ = 8 * (1/2) = 4.
-
Увеличим произведение в 11 раз:
- 4 * 11 = 44.
Ответ:
Произведение корней уравнения, увеличенное в 11 раз, равно 44.
ИИ Решение:
-
Обозначим числитель и знаменатель исходной дроби:
- Пусть числитель исходной дроби равен x, а знаменатель равен y.
-
Запишем условие деления знаменателя на числитель:
- y = 8x + 3
-
Запишем условие про увеличение числителя:
- После увеличения числителя на 75%, он станет равен x + 0.75x = 1.75x.
- Полученная дробь будет равна 1.75x / y = 1/5.
-
Решим систему уравнений:
- Выразим y из второго уравнения: y = 5 * 1.75x = 8.75x.
- Подставим это выражение в первое уравнение: 8.75x = 8x + 3.
- 0.75x = 3
- x = 3 / 0.75 = 4
-
Найдем знаменатель y:
- y = 8x + 3 = 8 * 4 + 3 = 35.
-
Запишем исходную дробь:
- Исходная дробь равна 4/35.
-
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) числителя и знаменателя:
- НОК(4, 35) = 140 (так как 4 и 35 — взаимно простые числа).
Ответ:
Наименьшее общее кратное числителя и знаменателя исходной дроби равно 140.
ИИ Решение:
-
Найдем сторону квадрата:
- Площадь квадрата равна 100.
- Следовательно, сторона квадрата равна (\sqrt{100}) = 10.
-
Найдем радиус основания цилиндра:
- Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной основаниям. В сечении получится прямоугольник, одна сторона которого равна стороне квадрата (10), а другая — высоте цилиндра (h).
- Диагональ этого прямоугольника является диаметром основания цилиндра.
- Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения ((\sqrt{39})) является катетом прямоугольного треугольника, где второй катет равен половине стороны квадрата (5), а гипотенуза равна радиусу основания цилиндра (r).
- По теореме Пифагора: r² = ((\sqrt{39}))² + 5²
- r² = 39 + 25 = 64
- r = (\sqrt{64}) = 8
-
Найдем высоту цилиндра:
- Высота цилиндра равна стороне квадрата, то есть h = 10.
-
Найдем площадь боковой поверхности цилиндра (S):
- S = 2πrh = 2π * 8 * 10 = 160π
-
Найдем значение выражения (\frac{S}{\pi}):
- (\frac{S}{\pi}) = (\frac{160\pi}{\pi}) = 160
Ответ:
Значение выражения (\frac{S}{\pi}) равно 160.
ИИ Решение:
- Преобразуем степени:
Заметим, что 8 = 2³ и 4 = 2². Перепишем неравенство, используя это:
[(2^3)^{2x-32} + 10 \cdot (2^2)^{3x-49} > 56]
[2^{6x-96} + 10 \cdot 2^{6x-98} > 56]
- Вынесем общий множитель:
Вынесем (2^{6x-98}) за скобки:
[2^{6x-98}(2^2 + 10) > 56]
[2^{6x-98}(4 + 10) > 56]
[2^{6x-98} \cdot 14 > 56]
- Разделим обе части на 14:
[2^{6x-98} > 4]
- Представим 4 как степень 2:
[2^{6x-98} > 2^2]
- Сравним показатели степеней:
Так как основание степени (2) больше 1, мы можем сравнить показатели степеней:
[6x — 98 > 2]
- Решим неравенство относительно x:
[6x > 100]
[x > \frac{100}{6} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}]
- Найдем наименьшее целое решение:
Наименьшее целое число, большее (16\frac{2}{3}), равно 17.
Ответ:
Наименьшее целое решение неравенства равно 17.
ИИ Решение:
-
Упростим уравнение:
- Заметим, что 2sin3xcos3x = sin6x (формула двойного угла синуса).
- Уравнение принимает вид: sin6x — sin6xsin10x = 0.
- Вынесем sin6x за скобки: sin6x(1 — sin10x) = 0.
-
Решим уравнение:
- Уравнение распадается на два: а) sin6x = 0; б) 1 — sin10x = 0.
-
Решим уравнение sin6x = 0:
- 6x = πn, где n ∈ Z.
- x = (πn)/6 = 30°n.
-
Решим уравнение 1 — sin10x = 0:
- sin10x = 1.
- 10x = π/2 + 2πk, где k ∈ Z.
- x = (π/20) + (πk/5) = 9° + 36°k.
-
Найдем корни на промежутке (-150°; -55°):
- Для sin6x = 0:
- Подставляем различные значения n, чтобы найти корни в заданном промежутке.
- При n = -4: x = -120°.
- При n = -3: x = -90°.
- При n = -2: x = -60°.
- Для sin10x = 1:
- Подставляем различные значения k, чтобы найти корни в заданном промежутке.
- При k = -3: x = -99°.
- Для sin6x = 0:
-
Запишем различные корни на промежутке (-150°; -55°):
- -120°, -99°, -90°, -60°.
-
Найдем сумму корней:
- (-120°) + (-99°) + (-90°) + (-60°) = -369°.
Ответ:
Сумма различных корней уравнения на промежутке (-150°; -55°) равна -369°.
ИИ Решение:
-
Ограничение:
- Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому x + 12 > 0, то есть x > -12.
-
Замена переменной:
- Пусть y = log₃(x + 12). Неравенство примет вид: y² — y — 6 < 0.
-
Решение квадратного неравенства:
- Разложим квадратный трехчлен на множители: (y — 3)(y + 2) < 0.
- Решением неравенства является промежуток -2 < y < 3.
-
Вернемся к исходной переменной:
- -2 < log₃(x + 12) < 3.
-
Решение логарифмического неравенства:
- Представим числа -2 и 3 в виде логарифмов по основанию 3: log₃(3⁻²) < log₃(x + 12) < log₃(3³).
- Так как основание логарифма 3 > 1, неравенство можно записать без изменения знаков: 3⁻² < x + 12 < 3³. 1/9 < x + 12 < 27.
-
Выразим x:
- Вычтем 12 из всех частей неравенства: 1/9 — 12 < x < 27 — 12. -107/9 < x < 15. -11.888… < x < 15.
-
Учитываем ограничение x > -12:
- Решением неравенства с учетом ограничения является промежуток -11.888… < x < 15.
-
Найдем наименьшее и наибольшее целые решения:
- Наименьшее целое решение равно -11.
- Наибольшее целое решение равно 14.
-
Найдем произведение наименьшего и наибольшего целых решений:
- (-11) * 14 = -154.
Ответ:
Произведение наименьшего целого решения на наибольшее целое решение неравенства равно -154.
ИИ Решение:
-
Отношение площадей:
- Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает подобную пирамиду.
- Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения соответствующих линейных размеров (в данном случае, высот).
-
Обозначим:
- Пусть S — площадь основания пирамиды.
- Пусть S_сеч — площадь сечения пирамиды.
- Высота пирамиды делится в отношении 5:3, считая от вершины. Это означает, что высота малой пирамиды составляет 5/8 от высоты исходной пирамиды.
-
Запишем отношение площадей:
- (\frac{S_{сеч}}{S} = (\frac{5}{8})^2 = \frac{25}{64})
-
Выразим площадь сечения:
- (S_{сеч} = \frac{25}{64}S)
-
Используем условие, что площадь сечения меньше площади основания на 39:
- S — S_сеч = 39
-
Подставим выражение для S_сеч:
- S — (\frac{25}{64}S) = 39
-
Решим уравнение относительно S:
- (\frac{64S — 25S}{64}) = 39
- (\frac{39S}{64}) = 39
- S = 64
-
Найдем площадь сечения:
- (S_{сеч} = \frac{25}{64}S = \frac{25}{64} * 64 = 25)
Ответ:
Площадь сечения пирамиды данной плоскостью равна 25.
ИИ Решение:
- Преобразуем уравнение:
Перенесем второй корень в правую часть уравнения:
[\sqrt[8]{2x^2-20x+32} = \sqrt[8]{76-23x}]
Возведем обе части уравнения в восьмую степень:
[2x^2-20x+32 = 76-23x]
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
[2x^2-20x+32 — 76 + 23x = 0]
[2x^2+3x-44 = 0]
- Решим квадратное уравнение:
Найдем дискриминант D:
D = b² — 4ac = 3² — 4 * 2 * (-44) = 9 + 352 = 361
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
Найдем корни x₁ и x₂:
[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{361}}{2 * 2} = \frac{-3 + 19}{4} = \frac{16}{4} = 4]
[x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 — \sqrt{361}}{2 * 2} = \frac{-3 — 19}{4} = \frac{-22}{4} = -5,5]
- Найдем сумму корней:
x₁ + x₂ = 4 + (-5,5) = -1,5
- Увеличим сумму корней в 6 раз:
-1,5 * 6 = -9
Ответ:
Полученный результат, увеличенный в 6 раз, равен -9.
ИИ Решение:
-
Найдем производную функции: f'(x) = -x³ + 6x² + 20x
-
Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: -x³ + 6x² + 20x = 0 -x(x² — 6x — 20) = 0
-x = 0 или x² — 6x — 20 = 0
Решим квадратное уравнение x² — 6x — 20 = 0: D = (-6)² — 4 * 1 * (-20) = 36 + 80 = 116 x₁,₂ = (6 ± √116) / 2 = (6 ± 2√29) / 2 = 3 ± √29
x₁ = 3 — √29 ≈ -2.385 x₂ = 3 + √29 ≈ 8.385
Критические точки: x = 0, x ≈ -2.385, x ≈ 8.385
-
Определим знаки производной на промежутках:
- (-∞; -2.385): f'(-3) = -(-3)³ + 6(-3)² + 20(-3) = 27 + 54 — 60 = 21 > 0 (функция возрастает)
- (-2.385; 0): f'(-1) = -(-1)³ + 6(-1)² + 20(-1) = 1 + 6 — 20 = -13 < 0 (функция убывает)
- (0; 8.385): f'(1) = -(1)³ + 6(1)² + 20(1) = -1 + 6 + 20 = 25 > 0 (функция возрастает)
- (8.385; +∞): f'(9) = -(9)³ + 6(9)² + 20(9) = -729 + 486 + 180 = -63 < 0 (функция убывает)
-
Определим промежутки возрастания функции:
Функция возрастает на промежутках (-∞; -2.385) и (0; 8.385).
-
Найдем наибольшее целое отрицательное число из промежутков возрастания:
a = -3
-
Найдем количество натуральных чисел из промежутков возрастания:
n = 8 (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
-
Вычислим значение выражения a * n:
a * n = -3 * 8 = -24
Ответ:
Значение выражения a * n равно -24.
ИИ Решение:
-
Найдем площадь основания параллелепипеда:
- Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длин сторон AB и BC на синус угла между ними.
- Сначала найдем синус угла ABC, зная его косинус: sin²ABC = 1 — cos²ABC = 1 — (\frac{14}{64}) = (\frac{50}{64}) = (\frac{25}{32}) sin ABC = (\sqrt{\frac{25}{32}}) = (\frac{5}{4\sqrt{2}}) = (\frac{5\sqrt{2}}{8})
- Площадь основания ABCD равна: S_ABCD = AB * BC * sin ABC = (\sqrt{7}) * (\sqrt{2}) * (\frac{5\sqrt{2}}{8}) = (\frac{5\sqrt{7}}{4})
-
Найдем высоту параллелепипеда:
- Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
- V = S_ABCD * AA₁
- (\frac{5\sqrt{7}}{2}) = (\frac{5\sqrt{7}}{4}) * AA₁
- AA₁ = (\frac{5\sqrt{7}}{2}) / (\frac{5\sqrt{7}}{4}) = 2
-
Введем систему координат:
- Начало координат в точке A.
- Ось X направлена вдоль AB.
- Ось Y направлена вдоль BC.
- Ось Z направлена вдоль AA₁.
-
Найдем координаты точек M и N:
- M делит AA₁ в отношении 4:1, значит, AM = (\frac{4}{5})AA₁ = (\frac{4}{5}) * 2 = (\frac{8}{5}).
- Координаты точки M: (0; 0; (\frac{8}{5})).
- N делит A₁B₁ в отношении 1:4, значит, A₁N = (\frac{1}{5})A₁B₁ = (\frac{1}{5})(\sqrt{7}).
- Координаты точки N: ((\frac{\sqrt{7}}{5}); 0; 2).
-
Найдем координаты вектора MN:
- MN = ( (\frac{\sqrt{7}}{5}) — 0; 0 — 0; 2 — (\frac{8}{5}) ) = ( (\frac{\sqrt{7}}{5}); 0; (\frac{2}{5}) ).
-
Найдем координаты вектора BC₁:
- BC₁ = (0 — (\sqrt{7}); (\sqrt{2}) — 0; 2 — 0) = ( -(\sqrt{7}); (\sqrt{2}); 2 ).
-
Найдем косинус угла φ между векторами MN и BC₁:
- cosφ = (\frac{MN * BC₁}{|MN| * |BC₁|})
- MN * BC₁ = (\frac{\sqrt{7}}{5}) * (-(\sqrt{7})) + 0 * (\sqrt{2}) + (\frac{2}{5}) * 2 = -(\frac{7}{5}) + (\frac{4}{5}) = -(\frac{3}{5})
- |MN| = (\sqrt{(\frac{\sqrt{7}}{5})^2 + 0^2 + (\frac{2}{5})^2}) = (\sqrt{\frac{7}{25} + \frac{4}{25}}) = (\sqrt{\frac{11}{25}}) = (\frac{\sqrt{11}}{5})
- |BC₁| = (\sqrt{(-\sqrt{7})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2}) = (\sqrt{7 + 2 + 4}) = (\sqrt{13})
- cosφ = (\frac{-3/5}{(\sqrt{11}/5) * \sqrt{13}}) = (\frac{-3}{\sqrt{143}})
-
Вычислим значение выражения (8\sqrt{66})cosφ:
- (8\sqrt{66})cosφ = (8\sqrt{66}) * (\frac{-3}{\sqrt{143}}) = (8\sqrt{66}) * (\frac{-3}{\sqrt{1113}}) = (8\sqrt{611}) * (\frac{-3}{\sqrt{11*13}}) = (8 * \frac{-3\sqrt{6}}{\sqrt{13}}) = (-\frac{24\sqrt{6}}{\sqrt{13}}) = (-\frac{24\sqrt{78}}{13})
Ответ:
Значение выражения (8\sqrt{66})cosφ равно (-\frac{24\sqrt{78}}{13}).
Далее – сравним ответы из сборника с теми, что получил ИИ
Задания | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 | А7 | А8 | А9 | А10 | B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | B6 | B7 | B8 | B9 | B10 | B11 | B12 | B13 | B14 | B15 | B16 | B17 | B18 | B19 | B20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ИИ | 2 | 4 | 5 | 3 | 1 | 2 | 1 | 5 | 3 | 1, 3 | 3, 5, 6 | А5Б2В4 | 459 | * | * | 45 | 65 | -2 | -10 | 294 | 44 | 140 | 160 | 17 | —369 | -154 | 25 | -9 | -24 | * |
Решение | 2 | 4 | 5 | 3 | 1 | 2, 4 | 1 | 5 | 3 | 1, 3 | 1, 3, 5 | А5Б2В4 | 459 | 24 | 15 | 45 | 65 | -11 | -10 | 294 | 44 | 140 | 160 | 17 | -567 | -154 | 25 | -33 | -24 | 46 |
И знаете? Я снова приятно удивлен: 8 ошибок: 2 частично верных и 6 «неверных». И некоторые «ошибочные решения» меня очень заинтересовали.
Но самое интересное – это решения, которое предложил ИИ. Их я и предлагаю обсудить в комментариях в соцсетях или через ваши мысли, присланные мне на email: salshevski@gmail.com