СПРАВИТСЯ ЛИ GEMINI С ЦТ ПО МАТЕМАТИКЕ? ЧАСТЬ 2

Сегодня, по совету коллеги, решил продолжить вчерашний эксперимент СПРАВИТСЯ ЛИ CHATGPT С ЦТ ПО МАТЕМАТИКЕ? ЧАСТЬ 1 и посмотреть на как справится gemini с ЦТ по математике.

Условия 'эксперимента'

Проверю, как gemini справится с ЦТ по математике за 2024 год:

  1. Прошу решить задачу самым обыкновенным запросом: «Реши следующую задачу с описанием решения на русском языке!».
  2. Публикую решение без его проверки и анализа (прикрепляю файлом).
  3. Сверяю ответы.
  4. Озвучиваю итоговый результат.
  5. Публикую «как есть» и внимательно читаю ваши комментарии и мысли.
  6. Думаю над тем, что получилось и что с этим делать.
Задание А1

ИИ Решение:

  1. Определим цену деления:

    • На отрезке от 0 до 1 расположено 10 делений.
    • Значит, цена одного деления равна 1 / 10 = 0,1.
  2. Найдем координату каждой точки:

    • A: 1 + 5 * 0,1 = 1,5
    • B: 1 + 6 * 0,1 = 1,6
    • C: 1 + 3 * 0,1 = 1,3
    • D: 0 * 0,1 = 0
    • E: 1 + 8 * 0,1 = 1,8
  3. Сравним координаты с заданным числом:

    • Координата точки B равна 1,6, что совпадает с заданным числом.

Ответ:

Числу 1,6 на координатной прямой соответствует точка B (вариант ответа №2).

Задание А2

ИИ Решение:

  1. Анализ плоскости DSO:

    • Плоскость DSO проходит через точку D, вершину пирамиды S и точку O (центр основания).
    • Значит, эта плоскость содержит диагональ основания BD.
  2. Анализ плоскости SCB:

    • Плоскость SCB проходит через вершину пирамиды S и сторону основания CB.
  3. Поиск линии пересечения:

    • Обе плоскости (DSO и SCB) содержат точку S.
    • Плоскость DSO содержит диагональ BD, а плоскость SCB содержит сторону CB.
    • Диагональ BD и сторона CB пересекаются в точке B.
    • Следовательно, линия пересечения плоскостей DSO и SCB проходит через точки S и B.

Ответ:

Прямая, по которой пересекаются плоскости DSO и SCB, — это прямая SB (вариант ответа №4).

Задание А3

ИИ Решение:

  1. Вспомним определение синуса:

    • Синус угла x (sinx) — это ордината точки, находящейся на единичной окружности, соответствующая углу x.
  2. Когда синус равен нулю?

    • Синус равен нулю, когда точка на единичной окружности находится на горизонтальной оси (ось абсцисс).
    • Это происходит при углах, кратных π (180 градусов), то есть 0, ±π, ±2π, ±3π и т.д.
  3. Проверим каждое значение аргумента:

    • -π/6: sin(-π/6) = -1/2 (не равно 0)
    • π/4: sin(π/4) = √2/2 (не равно 0)
    • π/3: sin(π/3) = √3/2 (не равно 0)
    • 3π/2: sin(3π/2) = -1 (не равно 0)
    • -6π: sin(-6π) = 0 (равно 0)

Ответ:

Значение функции y = sinx равно нулю при значении аргумента -6π (вариант ответа №5).

Задание А4

решение_задачи_A3

ИИ Решение:

  1. Вспомним формулу деления с остатком:

    • Делимое = Делитель * Неполное частное + Остаток
  2. Подставим известные значения:

    • Делимое = n
    • Делитель = 15
    • Неполное частное = k
    • Остаток = 7
  3. Запишем формулу:

    • n = 15 * k + 7

Ответ:

Формула, по которой можно найти делимое n, имеет вид n = 15k + 7 (вариант ответа №3).

Задание А5

ИИ Решение:

  1. Вспомним теорему Виета: Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 произведение корней равно c/a.

  2. Проверим каждое уравнение:

    1. (x^{2}-6x+5=0)

      • a = 1, c = 5
      • Произведение корней: 5/1 = 5 (подходит)
    2. (x^{2}-4x+5=0)

      • a = 1, c = 5
      • Произведение корней: 5/1 = 5 (подходит)
    3. (x^{2}-5x+6=0)

      • a = 1, c = 6
      • Произведение корней: 6/1 = 6 (не подходит)
    4. (x^{2}+5x=0)

      • a = 1, c = 0
      • Произведение корней: 0/1 = 0 (не подходит)
    5. (x^{2}-5=0)

      • a = 1, c = -5
      • Произведение корней: -5/1 = -5 (не подходит)
  3. Оба уравнения (1 и 2) имеют произведение корней равное 5.

    • Однако, составители задачи скорее всего предполагали единственный верный ответ.
    • Уравнение №1 имеет корни x₁ = 1 и x₂ = 5 (действительные).
    • Уравнение №2 имеет корни x₁ = 2 + i и x₂ = 2 — i (комплексные).

Ответ:

Произведение действительных корней равно 5 у уравнения (x^{2}-6x+5=0) (вариант ответа №1).

Задание А6

ИИ Решение:

Анализ рисунка:

На рисунке изображен промежуток от -6 (не включая -6) до 9 (включая 9). То есть, это интервал (-6; 9].

Проверка вариантов:

  1. (-6; +∞) и (-6; 9]:

    • (-6; +∞) — это все числа больше -6.
    • (-6; 9] — это все числа больше -6 и до 9 включительно.
    • Объединение этих промежутков дает (-6; +∞), что не совпадает с рисунком. (Не подходит)
  2. (-6; 0) и [0; 9]:

    • (-6; 0) — это все числа больше -6 и меньше 0.
    • [0; 9] — это все числа от 0 до 9 включительно.
    • Объединение этих промежутков дает (-6; 9], что совпадает с рисунком. (Подходит)
  3. (-∞; -6) и (-∞; 9]:

    • (-∞; -6) — это все числа меньше -6.
    • (-∞; 9] — это все числа меньше 9 включительно.
    • Объединение этих промежутков дает (-∞; 9], что не совпадает с рисунком. (Не подходит)
  4. (-6; 9] и (0; 4):

    • (-6; 9] — это все числа больше -6 и до 9 включительно.
    • (0; 4) — это все числа больше 0 и меньше 4.
    • Объединение этих промежутков не дает (-6; 9], так как числа от -6 до 0 не будут покрыты полностью. (Не подходит)
  5. (-∞; 9] и (-6; +∞):

    • (-∞; 9] — это все числа меньше 9 включительно.
    • (-6; +∞) — это все числа больше -6.
    • Объединение этих промежутков дает (-∞; +∞), что не совпадает с рисунком. (Не подходит)

Ответ:

Подходит только вариант №2: (-6; 0) и [0; 9].

Задание А7

ИИ Решение:

  1. Переведем рубли в копейки:

    • В 1 рубле 100 копеек.
    • У Толи было 6 рублей, значит, у него было 6 * 100 = 600 копеек.
  2. Найдем стоимость альбомов:

    • Один альбом стоит 1 р. 20 к. = 120 к.
    • Толя купил 3 альбома, значит, их стоимость равна 3 * 120 = 360 копеек.
  3. Найдем стоимость карандашей:

    • Один карандаш стоит 25 копеек.
    • Толя купил 5 карандашей, значит, их стоимость равна 5 * 25 = 125 копеек.
  4. Найдем общую стоимость покупки:

    • Общая стоимость покупки равна стоимости альбомов плюс стоимость карандашей: 360 + 125 = 485 копеек.
  5. Найдем, сколько денег осталось у Толи:

    • У Толи было 600 копеек, а покупка стоила 485 копеек.
    • Значит, у него осталось 600 — 485 = 115 копеек.

Ответ:

У Толи осталось 115 копеек (вариант ответа №1).

Задание А8

ИИ Решение:

  1. Вычислим (\arcsin(-1)):

    • (\arcsin(x)) — это угол, синус которого равен x.
    • Мы ищем угол, синус которого равен -1.
    • Этот угол равен (-\frac{\pi}{2}) или -90 градусов.
  2. Вычислим (\frac{38}{\pi} \cdot \arcsin(-1)):

    • (\frac{38}{\pi} \cdot \arcsin(-1) = \frac{38}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -19)
  3. Вычислим (-|-7|):

    • Модуль числа |-7| равен 7.
    • Значит, -|-7| = -7.
  4. Вычислим все выражение:

    • (\frac{38}{\pi} \cdot \arcsin(-1) — |-7| = -19 — 7 = -26)

Ответ:

Значение выражения равно -26 (вариант ответа №5).

Задание А9

ИИ Решение:

  1. Найдем сторону квадрата:

    • Диагональ квадрата связана со стороной (a) соотношением: d = a√2.
    • 8 = a√2
    • a = 8/√2 = 4√2
  2. Найдем радиус сферы (R):

    • Радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен плоскости α.
    • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы (R), расстоянием от центра сферы до вершины квадрата (4√2) и половиной диагонали квадрата (4).
    • По теореме Пифагора: R² + 4² = (4√2)²
    • R² + 16 = 32
    • R² = 16
    • R = 4
  3. Найдем площадь сферы:

    • Площадь сферы (S) находится по формуле: S = 4πR²
    • S = 4π * 4² = 64π

Ответ:

Площадь сферы равна 64π (вариант ответа №3).

Задание А10

ИИ Решение:

  1. Проверим каждое выражение:

    1. (\frac{1}{\sqrt[5]{a-6}}):

      • При a = -6 выражение превращается в (\frac{1}{\sqrt[5]{-6-6}} = \frac{1}{\sqrt[5]{-12}}).
      • Корень пятой степени из отрицательного числа существует, поэтому выражение имеет смысл.
    2. (\sqrt{a^{5}}):

      • При a = -6 выражение превращается в (\sqrt{(-6)^{5}} = \sqrt{-7776}).
      • Корень четной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел, поэтому выражение не имеет смысла.
    3. (\sqrt[5]{a}):

      • При a = -6 выражение превращается в (\sqrt[5]{-6}).
      • Корень пятой степени из отрицательного числа существует, поэтому выражение имеет смысл.
    4. (\frac{1}{\sqrt[6]{a-6}}):

      • При a = -6 выражение превращается в (\frac{1}{\sqrt[6]{-6-6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{-12}}).
      • Корень четной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел, поэтому выражение не имеет смысла.
    5. (\sqrt[6]{a}):

      • При a = -6 выражение превращается в (\sqrt[6]{-6}).
      • Корень четной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел, поэтому выражение не имеет смысла.

Ответ:

Имеют смысл выражения под номерами 1 и 3 (варианты ответа №1 и №3).

Задание B1

 

ИИ Решение:

. Проверим каждое утверждение:

  • Утверждение 1: расстояние от точки (C_1) до прямой AB равно длине отрезка (BC_1).

    • Неверно. (BC_1) — наклонная к плоскости (A_1B_1C_1), а расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром. Перпендикуляр от (C_1) к AB будет меньше, чем (BC_1).
  • Утверждение 2: расстояние от точки (C_1) до прямой AB равно длине отрезка (C_1M).

    • Неверно. (C_1M) не перпендикулярно AB.
  • Утверждение 3: расстояние от точки A до прямой BC равно длине отрезка AB.

    • Верно. Так как (\angle ABC = 90^\circ), AB перпендикулярно BC.
  • Утверждение 4: расстояние между прямыми (BB_1) и (CC_1) равно длине отрезка (BC_1).

    • Неверно. (BB_1) и (CC_1) параллельны, расстояние между ними равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой, например, от B до (CC_1). (BC_1) — наклонная.
  • Утверждение 5: расстояние между прямыми (A_1B_1) и AB равно длине отрезка (AA_1).

    • Верно. (AA_1) перпендикулярно плоскости, в которой лежат (A_1B_1) и AB.
  • Утверждение 6: расстояние от точки B до прямой AC равно длине отрезка BC.

    • Верно. Так как (\angle ABC = 90^\circ), BC перпендикулярно AC.

2. Записываем ответ:

Верные утверждения: 3, 5, 6.

Ответ: 356.

Задание B2

ИИ Решение:

А) Точка пересечения с осью ординат:

  • Точка пересечения графика функции с осью ординат находится при x = 0.
  • Подставим x = 0 в уравнение функции: f(0) = 0² + 4*0 — 5 = -5.
  • Точка пересечения с осью ординат имеет координаты (0; -5).
  • Сумма координат точки пересечения равна 0 + (-5) = -5.

Б) Сумма нулей функции:

  • Нули функции — это значения x, при которых f(x) = 0.
  • Решим квадратное уравнение: x² + 4x — 5 = 0.
  • По теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна -b/a.
  • В нашем случае, a = 1, b = 4, c = -5.
  • Сумма нулей функции равна -4/1 = -4.

В) Наименьшее значение функции:

  • График функции f(x) = x² + 4x — 5 является параболой, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при x² положительный).
  • Наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.
  • Абсцисса вершины параболы находится по формуле: x_в = -b / 2a.
  • В нашем случае, x_в = -4 / 2*1 = -2.
  • Подставим x_в = -2 в уравнение функции, чтобы найти наименьшее значение: f(-2) = (-2)² + 4*(-2) — 5 = 4 — 8 — 5 = -9.

Ответ:

А5Б2В4

Задание B3

ИИ Решение:

  1. Найдем первое число, кратное 9 и больше 141:

    • Разделим 141 на 9: 141 / 9 = 15,666…
    • Ближайшее целое число больше 15,666… равно 16.
    • Первое число, кратное 9 и больше 141, равно 16 * 9 = 144.
  2. Найдем последнее число, кратное 9 и меньше 170:

    • Разделим 170 на 9: 170 / 9 = 18,888…
    • Ближайшее целое число меньше 18,888… равно 18.
    • Последнее число, кратное 9 и меньше 170, равно 18 * 9 = 162.
  3. Найдем все числа, кратные 9, больше 141 и меньше 170:

    • Это числа: 144, 153, 162.
  4. Найдем сумму этих чисел:

    • 144 + 153 + 162 = 459.

Ответ:

Сумма всех натуральных чисел, которые кратны 9 и больше 141, но меньше 170, равна 459.

Задание B4

ИИ Решение:

  1. Найдем cos α:

    • Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin²α + cos²α = 1.
    • cos²α = 1 — sin²α = 1 — (\frac{1}{25}) = (\frac{24}{25}).
    • cos α = ±(\sqrt{\frac{24}{25}}) = ±(\frac{2\sqrt{6}}{5}).
    • Поскольку нам не дано никаких уточнений относительно знака cos α, рассмотрим оба варианта.
  2. Найдем ctg α:

    • ctg α = (\frac{cos α}{sin α}).
    • Если cos α = (\frac{2\sqrt{6}}{5}), то ctg α = (\frac{2\sqrt{6}}{5}) / (\frac{1}{5}) = 2(\sqrt{6}).
    • Если cos α = -(\frac{2\sqrt{6}}{5}), то ctg α = -(\frac{2\sqrt{6}}{5}) / (\frac{1}{5}) = -2(\sqrt{6}).
  3. Найдем ctg2α:

    • Воспользуемся формулой для ctg двойного угла: ctg2α = (\frac{ctg²α — 1}{2 ctg α}).
    • Вариант 1: Если ctg α = 2(\sqrt{6}), то ctg2α = (\frac{(2\sqrt{6})² — 1}{2 * 2\sqrt{6}}) = (\frac{24 — 1}{4\sqrt{6}}) = (\frac{23}{4\sqrt{6}}) = (\frac{23\sqrt{6}}{24}).
    • Вариант 2: Если ctg α = -2(\sqrt{6}), то ctg2α = (\frac{(-2\sqrt{6})² — 1}{2 * (-2\sqrt{6})}) = (\frac{24 — 1}{-4\sqrt{6}}) = -(\frac{23}{4\sqrt{6}}) = -(\frac{23\sqrt{6}}{24}).

Ответ:

В зависимости от знака cos α, ctg2α может принимать два значения: (\frac{23\sqrt{6}}{24}) или -(\frac{23\sqrt{6}}{24}).

Поскольку в задании sin α = (\frac{1}{5}), угол α может находиться в первой или второй четверти. В первой четверти cos α > 0, во второй cos α < 0. Соответственно, получаем два варианта ответа.

Задание B5

ИИ Решение:

  1. Определим гипотенузу AB:

    • Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы.
    • Радиус этой окружности равен половине гипотенузы.
    • Значит, длина гипотенузы AB равна 2 * (18\sqrt{2}) = (36\sqrt{2}).
  2. Найдем косинус угла ACB (cos∠ACB):

    • В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
    • cos∠ACB = BC / AB = (\frac{6\sqrt{2}}{36\sqrt{2}}) = (\frac{6}{36}) = (\frac{1}{6}).
  3. Вычислим значение выражения 90 — cos∠ACB:

    • 90 — cos∠ACB = 90 — (\frac{1}{6}) = (\frac{540}{6}) — (\frac{1}{6}) = (\frac{539}{6}) = 89(\frac{5}{6}).

Ответ:

Значение выражения 90 — cos∠ACB равно 89(\frac{5}{6}) или (\frac{539}{6}).

Задание B6

ИИ Решение:

  1. Найдем знаменатель прогрессии (q):

    • В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель.
    • Значит, шестой член равен пятому члену, умноженному на знаменатель: 96 = 48 * q q = 96 / 48 = 2
  2. Найдем первый член прогрессии (b1):

    • Пятый член можно выразить через первый член и знаменатель: b5 = b1 * q^4.
    • Подставим известные значения: 48 = b1 * 2^4
    • 48 = b1 * 16
    • b1 = 48 / 16 = 3
  3. Найдем сумму четырех первых членов прогрессии (S4):

    • Сумма n первых членов геометрической прогрессии находится по формуле: Sn = b1 * (q^n — 1) / (q — 1)
    • Подставим известные значения: S4 = 3 * (2^4 — 1) / (2 — 1)
    • S4 = 3 * (16 — 1) / 1
    • S4 = 3 * 15 = 45

Ответ:

Сумма четырех первых членов геометрической прогрессии равна 45.

Задание B7

ИИ Решение:

  1. Переведем рубли в копейки:

    • В 1 рубле 100 копеек.
    • Проездной билет стоит 39 * 100 = 3900 копеек.
  2. Найдем 75% от стоимости поездок:

    • 75% = 0,75
    • 75% от суммы денег, потраченных на поездки, равны стоимости проездного билета, то есть 3900 копеек.
  3. Найдем общую сумму, потраченную на поездки:

    • Пусть x — общая сумма, потраченная на поездки.
    • 0,75x = 3900
    • x = 3900 / 0,75 = 5200 копеек.
  4. Найдем количество поездок:

    • Одна поездка стоит 80 копеек.
    • Количество поездок равно общей сумме, деленной на стоимость одной поездки: 5200 / 80 = 65.

Ответ:

Маша совершила 65 поездок на автобусе за месяц.

Задание B8

ИИ Решение:

  1. Решим двойное неравенство:

    • Умножим все части неравенства на 2: -64 ≤ 3x — 2 < 54
    • Прибавим 2 ко всем частям неравенства: -62 ≤ 3x < 56
    • Разделим все части неравенства на 3: -(\frac{62}{3}) ≤ x < (\frac{56}{3})
    • -20,666… ≤ x < 18,666…
  2. Найдем наименьшее целое решение:

    • Наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно -20.
  3. Найдем наибольшее целое решение:

    • Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно 18.
  4. Найдем сумму наименьшего и наибольшего целых решений:

    • -20 + 18 = -2.

Ответ:

Сумма наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства равна -2.

Задание B9

ИИ Решение:

Решение задачи:

Условие:

Функция y = f(x) определена на множестве действительных чисел. Точки A(3; -2/3) и B(6; -3/4) принадлежат графику данной функции. Найдите значение выражения 6f(-3) + 8f(-6), если известно, что график функции y = f(x) симметричен относительно оси ординат.

Решение:

  1. Свойство симметрии относительно оси ординат:

    • Если график функции симметричен относительно оси ординат, то для любой точки (x; y) на графике точка (-x; y) также будет принадлежать графику.
    • Это означает, что f(-x) = f(x) для всех x.
  2. Найдем f(-3) и f(-6):

    • Так как график симметричен относительно оси ординат, то f(-3) = f(3) и f(-6) = f(6).
    • Из условия задачи нам дано, что f(3) = -2/3 и f(6) = -3/4.
    • Следовательно, f(-3) = -2/3 и f(-6) = -3/4.
  3. Вычислим значение выражения:

    • 6f(-3) + 8f(-6) = 6 * (-2/3) + 8 * (-3/4) = -4 — 6 = -10.

Ответ:

Значение выражения 6f(-3) + 8f(-6) равно -10.

Задание B10

ИИ Решение:

  1. Связь радиуса вписанной окружности с площадью правильного шестиугольника:

Площадь правильного шестиугольника можно найти, зная радиус вписанной окружности (r) и сторону шестиугольника (a):

S = (\frac{1}{2}) * P * r,

где P — периметр шестиугольника.

Периметр правильного шестиугольника равен 6a.

Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник связан со стороной шестиугольника формулой:

r = (\frac{\sqrt{3}}{2}) * a

Отсюда выразим сторону a через радиус r:

a = (\frac{2r}{\sqrt{3}})

  1. Выразим площадь шестиугольника через радиус вписанной окружности:

Подставим выражение для a в формулу площади:

S = (\frac{1}{2}) * 6a * r = 3ar = 3 * (\frac{2r}{\sqrt{3}}) * r = (\frac{6r^2}{\sqrt{3}}) = 2(\sqrt{3})r²

  1. Подставим значение радиуса и найдем площадь:

r = (7\sqrt{3})

S = 2(\sqrt{3}) * (7(\sqrt{3}))² = 2(\sqrt{3}) * 49 * 3 = 294(\sqrt{3})

  1. Найдем значение выражения (\frac{S}{\sqrt{3}}):

(\frac{S}{\sqrt{3}}) = (\frac{294\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) = 294

Ответ:

Значение выражения (\frac{S}{\sqrt{3}}) равно 294.

Задание B11

ИИ Решение:

  1. Упростим правую часть уравнения:

    • log₂24 — log₂3 = log₂(24/3) = log₂8 = 3.
  2. Перепишем уравнение:

    • log₂²x — 2log₂x = 3.
  3. Сделаем замену переменной:

    • Пусть y = log₂x. Тогда уравнение примет вид: y² — 2y = 3.
  4. Решим квадратное уравнение:

    • y² — 2y — 3 = 0.
    • (y — 3)(y + 1) = 0.
    • y₁ = 3, y₂ = -1.
  5. Вернемся к исходной переменной:

    • log₂x₁ = 3.
    • x₁ = 2³ = 8.
    • log₂x₂ = -1.
    • x₂ = 2⁻¹ = 1/2.
  6. Найдем произведение корней:

    • x₁ * x₂ = 8 * (1/2) = 4.
  7. Увеличим произведение в 11 раз:

    • 4 * 11 = 44.

Ответ:

Произведение корней уравнения, увеличенное в 11 раз, равно 44.

Задание B12

ИИ Решение:

  1. Обозначим числитель и знаменатель исходной дроби:

    • Пусть числитель исходной дроби равен x, а знаменатель равен y.
  2. Запишем условие деления знаменателя на числитель:

    • y = 8x + 3
  3. Запишем условие про увеличение числителя:

    • После увеличения числителя на 75%, он станет равен x + 0.75x = 1.75x.
    • Полученная дробь будет равна 1.75x / y = 1/5.
  4. Решим систему уравнений:

    • Выразим y из второго уравнения: y = 5 * 1.75x = 8.75x.
    • Подставим это выражение в первое уравнение: 8.75x = 8x + 3.
    • 0.75x = 3
    • x = 3 / 0.75 = 4
  5. Найдем знаменатель y:

    • y = 8x + 3 = 8 * 4 + 3 = 35.
  6. Запишем исходную дробь:

    • Исходная дробь равна 4/35.
  7. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) числителя и знаменателя:

    • НОК(4, 35) = 140 (так как 4 и 35 — взаимно простые числа).

Ответ:

Наименьшее общее кратное числителя и знаменателя исходной дроби равно 140.

Задание B13

ИИ Решение:

  1. Найдем сторону квадрата:

    • Площадь квадрата равна 100.
    • Следовательно, сторона квадрата равна (\sqrt{100}) = 10.
  2. Найдем радиус основания цилиндра:

    • Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной основаниям. В сечении получится прямоугольник, одна сторона которого равна стороне квадрата (10), а другая — высоте цилиндра (h).
    • Диагональ этого прямоугольника является диаметром основания цилиндра.
    • Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения ((\sqrt{39})) является катетом прямоугольного треугольника, где второй катет равен половине стороны квадрата (5), а гипотенуза равна радиусу основания цилиндра (r).
    • По теореме Пифагора: r² = ((\sqrt{39}))² + 5²
    • r² = 39 + 25 = 64
    • r = (\sqrt{64}) = 8
  3. Найдем высоту цилиндра:

    • Высота цилиндра равна стороне квадрата, то есть h = 10.
  4. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра (S):

    • S = 2πrh = 2π * 8 * 10 = 160π
  5. Найдем значение выражения (\frac{S}{\pi}):

    • (\frac{S}{\pi}) = (\frac{160\pi}{\pi}) = 160

Ответ:

Значение выражения (\frac{S}{\pi}) равно 160.

Задание B14

ИИ Решение:

  1. Преобразуем степени:

Заметим, что 8 = 2³ и 4 = 2². Перепишем неравенство, используя это:

[(2^3)^{2x-32} + 10 \cdot (2^2)^{3x-49} > 56]

[2^{6x-96} + 10 \cdot 2^{6x-98} > 56]

  1. Вынесем общий множитель:

Вынесем (2^{6x-98}) за скобки:

[2^{6x-98}(2^2 + 10) > 56]

[2^{6x-98}(4 + 10) > 56]

[2^{6x-98} \cdot 14 > 56]

  1. Разделим обе части на 14:

[2^{6x-98} > 4]

  1. Представим 4 как степень 2:

[2^{6x-98} > 2^2]

  1. Сравним показатели степеней:

Так как основание степени (2) больше 1, мы можем сравнить показатели степеней:

[6x — 98 > 2]

  1. Решим неравенство относительно x:

[6x > 100]

[x > \frac{100}{6} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}]

  1. Найдем наименьшее целое решение:

Наименьшее целое число, большее (16\frac{2}{3}), равно 17.

Ответ:

Наименьшее целое решение неравенства равно 17.

Задание B15

ИИ Решение:

  1. Упростим уравнение:

    • Заметим, что 2sin3xcos3x = sin6x (формула двойного угла синуса).
    • Уравнение принимает вид: sin6x — sin6xsin10x = 0.
    • Вынесем sin6x за скобки: sin6x(1 — sin10x) = 0.
  2. Решим уравнение:

    • Уравнение распадается на два: а) sin6x = 0; б) 1 — sin10x = 0.
  3. Решим уравнение sin6x = 0:

    • 6x = πn, где n ∈ Z.
    • x = (πn)/6 = 30°n.
  4. Решим уравнение 1 — sin10x = 0:

    • sin10x = 1.
    • 10x = π/2 + 2πk, где k ∈ Z.
    • x = (π/20) + (πk/5) = 9° + 36°k.
  5. Найдем корни на промежутке (-150°; -55°):

    • Для sin6x = 0:
      • Подставляем различные значения n, чтобы найти корни в заданном промежутке.
      • При n = -4: x = -120°.
      • При n = -3: x = -90°.
      • При n = -2: x = -60°.
    • Для sin10x = 1:
      • Подставляем различные значения k, чтобы найти корни в заданном промежутке.
      • При k = -3: x = -99°.
  6. Запишем различные корни на промежутке (-150°; -55°):

    • -120°, -99°, -90°, -60°.
  7. Найдем сумму корней:

    • (-120°) + (-99°) + (-90°) + (-60°) = -369°.

Ответ:

Сумма различных корней уравнения на промежутке (-150°; -55°) равна -369°.

Задание B16

ИИ Решение:

  1. Ограничение:

    • Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому x + 12 > 0, то есть x > -12.
  2. Замена переменной:

    • Пусть y = log₃(x + 12). Неравенство примет вид: y² — y — 6 < 0.
  3. Решение квадратного неравенства:

    • Разложим квадратный трехчлен на множители: (y — 3)(y + 2) < 0.
    • Решением неравенства является промежуток -2 < y < 3.
  4. Вернемся к исходной переменной:

    • -2 < log₃(x + 12) < 3.
  5. Решение логарифмического неравенства:

    • Представим числа -2 и 3 в виде логарифмов по основанию 3: log₃(3⁻²) < log₃(x + 12) < log₃(3³).
    • Так как основание логарифма 3 > 1, неравенство можно записать без изменения знаков: 3⁻² < x + 12 < 3³. 1/9 < x + 12 < 27.
  6. Выразим x:

    • Вычтем 12 из всех частей неравенства: 1/9 — 12 < x < 27 — 12. -107/9 < x < 15. -11.888… < x < 15.
  7. Учитываем ограничение x > -12:

    • Решением неравенства с учетом ограничения является промежуток -11.888… < x < 15.
  8. Найдем наименьшее и наибольшее целые решения:

    • Наименьшее целое решение равно -11.
    • Наибольшее целое решение равно 14.
  9. Найдем произведение наименьшего и наибольшего целых решений:

    • (-11) * 14 = -154.

Ответ:

Произведение наименьшего целого решения на наибольшее целое решение неравенства равно -154.

Задание B17

ИИ Решение:

  1. Отношение площадей:

    • Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает подобную пирамиду.
    • Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения соответствующих линейных размеров (в данном случае, высот).
  2. Обозначим:

    • Пусть S — площадь основания пирамиды.
    • Пусть S_сеч — площадь сечения пирамиды.
    • Высота пирамиды делится в отношении 5:3, считая от вершины. Это означает, что высота малой пирамиды составляет 5/8 от высоты исходной пирамиды.
  3. Запишем отношение площадей:

    • (\frac{S_{сеч}}{S} = (\frac{5}{8})^2 = \frac{25}{64})
  4. Выразим площадь сечения:

    • (S_{сеч} = \frac{25}{64}S)
  5. Используем условие, что площадь сечения меньше площади основания на 39:

    • S — S_сеч = 39
  6. Подставим выражение для S_сеч:

    • S — (\frac{25}{64}S) = 39
  7. Решим уравнение относительно S:

    • (\frac{64S — 25S}{64}) = 39
    • (\frac{39S}{64}) = 39
    • S = 64
  8. Найдем площадь сечения:

    • (S_{сеч} = \frac{25}{64}S = \frac{25}{64} * 64 = 25)

Ответ:

Площадь сечения пирамиды данной плоскостью равна 25.

Задание B18

ИИ Решение:

  1. Преобразуем уравнение:

Перенесем второй корень в правую часть уравнения:

[\sqrt[8]{2x^2-20x+32} = \sqrt[8]{76-23x}]

Возведем обе части уравнения в восьмую степень:

[2x^2-20x+32 = 76-23x]

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

[2x^2-20x+32 — 76 + 23x = 0]

[2x^2+3x-44 = 0]

  1. Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант D:

D = b² — 4ac = 3² — 4 * 2 * (-44) = 9 + 352 = 361

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

Найдем корни x₁ и x₂:

[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{361}}{2 * 2} = \frac{-3 + 19}{4} = \frac{16}{4} = 4]

[x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 — \sqrt{361}}{2 * 2} = \frac{-3 — 19}{4} = \frac{-22}{4} = -5,5]

  1. Найдем сумму корней:

x₁ + x₂ = 4 + (-5,5) = -1,5

  1. Увеличим сумму корней в 6 раз:

-1,5 * 6 = -9

Ответ:

Полученный результат, увеличенный в 6 раз, равен -9.

Задание B19

ИИ Решение:

  1. Найдем производную функции: f'(x) = -x³ + 6x² + 20x

  2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: -x³ + 6x² + 20x = 0 -x(x² — 6x — 20) = 0

    -x = 0 или x² — 6x — 20 = 0

    Решим квадратное уравнение x² — 6x — 20 = 0: D = (-6)² — 4 * 1 * (-20) = 36 + 80 = 116 x₁,₂ = (6 ± √116) / 2 = (6 ± 2√29) / 2 = 3 ± √29

    x₁ = 3 — √29 ≈ -2.385 x₂ = 3 + √29 ≈ 8.385

    Критические точки: x = 0, x ≈ -2.385, x ≈ 8.385

  3. Определим знаки производной на промежутках:

    • (-∞; -2.385): f'(-3) = -(-3)³ + 6(-3)² + 20(-3) = 27 + 54 — 60 = 21 > 0 (функция возрастает)
    • (-2.385; 0): f'(-1) = -(-1)³ + 6(-1)² + 20(-1) = 1 + 6 — 20 = -13 < 0 (функция убывает)
    • (0; 8.385): f'(1) = -(1)³ + 6(1)² + 20(1) = -1 + 6 + 20 = 25 > 0 (функция возрастает)
    • (8.385; +∞): f'(9) = -(9)³ + 6(9)² + 20(9) = -729 + 486 + 180 = -63 < 0 (функция убывает)
  4. Определим промежутки возрастания функции:

    Функция возрастает на промежутках (-∞; -2.385) и (0; 8.385).

  5. Найдем наибольшее целое отрицательное число из промежутков возрастания:

    a = -3

  6. Найдем количество натуральных чисел из промежутков возрастания:

    n = 8 (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

  7. Вычислим значение выражения a * n:

    a * n = -3 * 8 = -24

Ответ:

Значение выражения a * n равно -24.

Задание B20

ИИ Решение:

  1. Найдем площадь основания параллелепипеда:

    • Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длин сторон AB и BC на синус угла между ними.
    • Сначала найдем синус угла ABC, зная его косинус: sin²ABC = 1 — cos²ABC = 1 — (\frac{14}{64}) = (\frac{50}{64}) = (\frac{25}{32}) sin ABC = (\sqrt{\frac{25}{32}}) = (\frac{5}{4\sqrt{2}}) = (\frac{5\sqrt{2}}{8})
    • Площадь основания ABCD равна: S_ABCD = AB * BC * sin ABC = (\sqrt{7}) * (\sqrt{2}) * (\frac{5\sqrt{2}}{8}) = (\frac{5\sqrt{7}}{4})
  2. Найдем высоту параллелепипеда:

    • Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
    • V = S_ABCD * AA₁
    • (\frac{5\sqrt{7}}{2}) = (\frac{5\sqrt{7}}{4}) * AA₁
    • AA₁ = (\frac{5\sqrt{7}}{2}) / (\frac{5\sqrt{7}}{4}) = 2
  3. Введем систему координат:

    • Начало координат в точке A.
    • Ось X направлена вдоль AB.
    • Ось Y направлена вдоль BC.
    • Ось Z направлена вдоль AA₁.
  4. Найдем координаты точек M и N:

    • M делит AA₁ в отношении 4:1, значит, AM = (\frac{4}{5})AA₁ = (\frac{4}{5}) * 2 = (\frac{8}{5}).
    • Координаты точки M: (0; 0; (\frac{8}{5})).
    • N делит A₁B₁ в отношении 1:4, значит, A₁N = (\frac{1}{5})A₁B₁ = (\frac{1}{5})(\sqrt{7}).
    • Координаты точки N: ((\frac{\sqrt{7}}{5}); 0; 2).
  5. Найдем координаты вектора MN:

    • MN = ( (\frac{\sqrt{7}}{5}) — 0; 0 — 0; 2 — (\frac{8}{5}) ) = ( (\frac{\sqrt{7}}{5}); 0; (\frac{2}{5}) ).
  6. Найдем координаты вектора BC₁:

    • BC₁ = (0 — (\sqrt{7}); (\sqrt{2}) — 0; 2 — 0) = ( -(\sqrt{7}); (\sqrt{2}); 2 ).
  7. Найдем косинус угла φ между векторами MN и BC₁:

    • cosφ = (\frac{MN * BC₁}{|MN| * |BC₁|})
    • MN * BC₁ = (\frac{\sqrt{7}}{5}) * (-(\sqrt{7})) + 0 * (\sqrt{2}) + (\frac{2}{5}) * 2 = -(\frac{7}{5}) + (\frac{4}{5}) = -(\frac{3}{5})
    • |MN| = (\sqrt{(\frac{\sqrt{7}}{5})^2 + 0^2 + (\frac{2}{5})^2}) = (\sqrt{\frac{7}{25} + \frac{4}{25}}) = (\sqrt{\frac{11}{25}}) = (\frac{\sqrt{11}}{5})
    • |BC₁| = (\sqrt{(-\sqrt{7})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2}) = (\sqrt{7 + 2 + 4}) = (\sqrt{13})
    • cosφ = (\frac{-3/5}{(\sqrt{11}/5) * \sqrt{13}}) = (\frac{-3}{\sqrt{143}})
  8. Вычислим значение выражения (8\sqrt{66})cosφ:

    • (8\sqrt{66})cosφ = (8\sqrt{66}) * (\frac{-3}{\sqrt{143}}) = (8\sqrt{66}) * (\frac{-3}{\sqrt{1113}}) = (8\sqrt{611}) * (\frac{-3}{\sqrt{11*13}}) = (8 * \frac{-3\sqrt{6}}{\sqrt{13}}) = (-\frac{24\sqrt{6}}{\sqrt{13}}) = (-\frac{24\sqrt{78}}{13})

Ответ:

Значение выражения (8\sqrt{66})cosφ равно (-\frac{24\sqrt{78}}{13}).

Далее – сравним ответы из сборника с теми, что получил ИИ

Задания А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16 B17 B18 B19 B20
ИИ 2 4 5 3 1 2 1 5 3 1, 3 3, 5, 6 А5Б2В4 459 * * 45 65 -2 -10 294 44 140 160 17 369 -154 25 -9 -24 *
Решение 2 4 5 3 1 2, 4 1 5 3 1, 3 1, 3, 5 А5Б2В4 459 24 15 45 65 -11 -10 294 44 140 160 17 -567 -154 25 -33 -24 46

 

И знаете? Я снова приятно удивлен: 8 ошибок: 2 частично верных и 6 «неверных». И некоторые «ошибочные решения» меня очень заинтересовали.

Но самое интересное – это решения, которое предложил ИИ. Их я и предлагаю обсудить в комментариях в соцсетях или через ваши мысли, присланные мне на email: salshevski@gmail.com