СПРАВИТСЯ ЛИ GEMINI С ЦТ ПО МАТЕМАТИКЕ? ПОВТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

1. Определим цену деления:

   • На отрезке от 0 до 1 расположено 10 делений.
   • Значит, цена одного деления равна 1 / 10 = 0,1.

2. Найдем координату каждой точки:

   • A: 1 + 5 * 0,1 = 1,5
   • B: 1 + 6 * 0,1 = 1,6
   • C: 1 + 3 * 0,1 = 1,3
   • D: 0 * 0,1 = 0
   • E: 1 + 8 * 0,1 = 1,8

3. Сравним координаты с заданным числом:

   • Координата точки B равна 1,6, что совпадает с заданным числом.

Ответ:

Числу 1,6 на координатной прямой соответствует точка B (вариант ответа №2).

Для решения этой задачи необходимо определить цену деления на координатной прямой и найти положение числа **1,6**.

—

### 1. Определение цены деления 📏

На координатной прямой отмечено начало отсчета **$O$** (соответствует числу **0**) и число **1**.

1. Посчитаем количество равных отрезков (делений) между точками $O$ и $1$.
2. На рисунке видно, что между $O$ (0) и отметкой 1 расположено **5** равных маленьких отрезков (делений).
3. Следовательно, цена одного деления (маленького отрезка) равна:
$$\text{Цена деления} = \frac{1 — 0}{5} = \frac{1}{5} = 0,2$$

—

### 2. Определение положения числа 1,6 🔍

Теперь, зная цену деления (0,2), мы можем найти, какому количеству делений от начала отсчета ($O$) соответствует число **1,6**.

1. Количество делений от $O$ до 1,6:
$$\text{Количество делений} = \frac{1,6}{0,2} = \frac{16}{2} = 8$$

2. Таким образом, числу **1,6** соответствует точка, расположенная на **8-м** делении вправо от начала отсчета $O$.

—

### 3. Определение соответствующей точки 🎯

Отсчитаем 8 делений вправо от точки $O$:

* 1-е деление: 0,2
* 2-е деление: 0,4
* 3-е деление: 0,6
* 4-е деление: 0,8
* 5-е деление: 1 (отметка «1»)
* 6-е деление: 1,2
* 7-е деление: 1,4
* **8-е деление: 1,6**

На рисунке видно, что на 8-м делении находится точка **$E$**.

—

### 4. Ответ ✅

Числу **1,6** на координатной прямой соответствует точка **$E$**.

**Правильный вариант ответа:** 5) $E$.

1. Анализ плоскости DSO:

   • Плоскость DSO проходит через точку D, вершину пирамиды S и точку O (центр основания).
   • Значит, эта плоскость содержит диагональ основания BD.

2. Анализ плоскости SCB:

   • Плоскость SCB проходит через вершину пирамиды S и сторону основания CB.

3. Поиск линии пересечения:

   • Обе плоскости (DSO и SCB) содержат точку S.
   • Плоскость DSO содержит диагональ BD, а плоскость SCB содержит сторону CB.
   • Диагональ BD и сторона CB пересекаются в точке B.
   • Следовательно, линия пересечения плоскостей DSO и SCB проходит через точки S и B.

Ответ:

Прямая, по которой пересекаются плоскости DSO и SCB, — это прямая SB (вариант ответа №4).

Нам нужно найти прямую, по которой пересекаются плоскости **$DSO$** и **$SCB$**.

—

### 1. Определение первой общей точки

1. Рассмотрим плоскость **$DSO$**. Эта плоскость содержит вершину пирамиды **$S$** и прямую **$DO$** (часть диагонали $BD$).
2. Рассмотрим плоскость **$SCB$**. Эта плоскость содержит вершину пирамиды **$S$** и прямую **$BC$** (сторона основания).
3. Очевидно, что **точка $S$** является общей для обеих плоскостей ($S \in DSO$ и $S \in SCB$).

—

### 2. Определение второй общей точки

Прямая пересечения двух плоскостей должна проходить через их общие точки. Так как точка $S$ уже найдена, нужно найти еще одну общую точку.

1. Рассмотрим основания данных плоскостей в плоскости основания пирамиды $ABCD$:
* Плоскость $DSO$ проходит через прямую $DO$, которая является частью диагонали $\mathbf{BD}$.
* Плоскость $SCB$ проходит через прямую $\mathbf{BC}$.

2. Найдем точку пересечения этих двух прямых основания: $BD$ и $BC$.
* Прямые $BD$ и $BC$ пересекаются в **точке $B$**.
* Поскольку **точка $B$** лежит на прямой $DO$ ($B$ лежит на $BD$, а $DO$ — часть $BD$), она принадлежит плоскости **$DSO$**.
* Поскольку **точка $B$** лежит на прямой $BC$, она принадлежит плоскости **$SCB$**.

3. Следовательно, **точка $B$** является второй общей точкой для плоскостей $DSO$ и $SCB$.

—

### 3. Формулировка ответа

Две плоскости пересекаются по прямой, проходящей через их общие точки **$S$** и **$B$**.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $DSO$ и $SCB$ — это прямая **$SB$**.

**Правильный вариант ответа:** 4) $SB$.

1. Вспомним определение синуса:

   • Синус угла x (sinx) — это ордината точки, находящейся на единичной окружности, соответствующая углу x.

2. Когда синус равен нулю?

   • Синус равен нулю, когда точка на единичной окружности находится на горизонтальной оси (ось абсцисс).
   • Это происходит при углах, кратных π (180 градусов), то есть 0, ±π, ±2π, ±3π и т.д.

3. Проверим каждое значение аргумента:

   • -π/6: sin(-π/6) = -1/2 (не равно 0)
   • π/4: sin(π/4) = √2/2 (не равно 0)
   • π/3: sin(π/3) = √3/2 (не равно 0)
   • 3π/2: sin(3π/2) = -1 (не равно 0)
   • -6π: sin(-6π) = 0 (равно 0)

Ответ:

Значение функции y = sinx равно нулю при значении аргумента -6π (вариант ответа №5).

Требуется найти такое значение аргумента $x$ из предложенного списка, при котором значение функции $y = \sin x$ равно нулю, то есть $\sin x = 0$.

—

### 1. Условие равенства синуса нулю

Функция $\sin x$ равна нулю при всех значениях аргумента $x$, которые можно записать в виде:
$$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$
где $k$ — любое целое число.

—

### 2. Проверка предложенных значений

Проверим, какие из предложенных значений аргумента ($-\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{2}$, $-6\pi$) удовлетворяют условию $\sin x = 0$.

* **1) $x = -\frac{\pi}{6}$:**
$$\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \neq 0$$

* **2) $x = \frac{\pi}{4}$:**
$$\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$$

* **3) $x = \frac{\pi}{3}$:**
$$\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$$

* **4) $x = \frac{3\pi}{2}$:**
$$\sin \left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \neq 0$$

* **5) $x = -6\pi$:**
$$x = -6\pi = \pi \cdot (-6)$$
Это значение имеет вид $\pi k$, где $k = -6$ (целое число). Следовательно:
$$\sin (-6\pi) = 0$$

—

### 3. Ответ ✅

Значение функции $y = \sin x$ равно нулю при $x = -6\pi$.

**Правильный вариант ответа:** 5) $-6\pi$.

1. Вспомним формулу деления с остатком:

   • Делимое = Делитель * Неполное частное + Остаток

2. Подставим известные значения:

   • Делимое = n
   • Делитель = 15
   • Неполное частное = k
   • Остаток = 7

3. Запишем формулу:

   • n = 15 * k + 7

Ответ:

Формула, по которой можно найти делимое n, имеет вид n = 15k + 7 (вариант ответа №3).

Основное правило деления с остатком гласит:

$$\text{Делимое} = \text{Делитель} \cdot \text{Неполное частное} + \text{Остаток}$$

В данной задаче заданы следующие величины:
* **Делимое:** $n$
* **Делитель:** $15$
* **Неполное частное:** $k$
* **Остаток:** $7$

—

### Подстановка значений в формулу

Подставим заданные значения в формулу деления с остатком:
$$n = 15 \cdot k + 7$$
или
$$n = 15k + 7$$

—

### Сравнение с предложенными вариантами

Сравним полученную формулу с предложенными вариантами:
1. $n = 15(k + 7) \implies n = 15k + 105$
2. $n = k + 22$
3. **$n = 15k + 7$**
4. $n = 7k + 15$
5. $n = 7(k + 15) \implies n = 7k + 105$

Формула **3)** $n = 15k + 7$ точно соответствует правилу деления с остатком для данных условий.

**Правильный вариант ответа:** 3.

1. Вспомним теорему Виета: Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 произведение корней равно c/a.

2. Проверим каждое уравнение:

   1. (x^{2}-6x+5=0)

      • a = 1, c = 5
      • Произведение корней: 5/1 = 5 (подходит)

   2. (x^{2}-4x+5=0)

      • a = 1, c = 5
      • Произведение корней: 5/1 = 5 (подходит)

   3. (x^{2}-5x+6=0)

      • a = 1, c = 6
      • Произведение корней: 6/1 = 6 (не подходит)

   4. (x^{2}+5x=0)

      • a = 1, c = 0
      • Произведение корней: 0/1 = 0 (не подходит)

   5. (x^{2}-5=0)

      • a = 1, c = -5
      • Произведение корней: -5/1 = -5 (не подходит)

3. Оба уравнения (1 и 2) имеют произведение корней равное 5.

   • Однако, составители задачи скорее всего предполагали единственный верный ответ.
   • Уравнение №1 имеет корни x₁ = 1 и x₂ = 5 (действительные).
   • Уравнение №2 имеет корни x₁ = 2 + i и x₂ = 2 — i (комплексные).

Ответ:

Произведение действительных корней равно 5 у уравнения (x^{2}-6x+5=0) (вариант ответа №1).

Для решения этой задачи воспользуемся **теоремой Виета**.

—

### Теорема Виета

Для приведенного квадратного уравнения общего вида $x^2 + px + q = 0$, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену $q$:
$$x_1 \cdot x_2 = q$$

Мы ищем уравнение, произведение действительных корней которого равно **5**.

—

### Проверка уравнений

Проверим каждое из предложенных уравнений вида $x^2 + px + q = 0$, где $q$ — свободный член.

1. **$x^2 — 6x + 5 = 0$**
* Свободный член $q = 5$.
* Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5$.
* *Проверка действительности корней:* Дискриминант $D = (-6)^2 — 4(1)(5) = 36 — 20 = 16$. Так как $D > 0$, корни действительны.
* **Условие выполняется.**

2. **$x^2 — 4x + 5 = 0$**
* Свободный член $q = 5$.
* Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5$.
* *Проверка действительности корней:* Дискриминант $D = (-4)^2 — 4(1)(5) = 16 — 20 = -4$. Так как $D < 0$, **действительных корней нет**.

3. **$x^2 — 5x + 6 = 0$**
* Свободный член $q = 6$.
* Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$. (Не равно 5).

4. **$x^2 + 5x = 0$**
* Свободный член $q = 0$ (т.к. $x^2 + 5x + 0 = 0$).
* Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0$. (Не равно 5).

5. **$x^2 — 5 = 0$**
* Свободный член $q = -5$ (т.к. $x^2 + 0x — 5 = 0$).
* Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5$. (Не равно 5).

—

### Вывод ✅

Только квадратное уравнение **$x^2 — 6x + 5 = 0$** имеет действительные корни, произведение которых равно **5**.

**Правильный вариант ответа:** 1.

Анализ рисунка:

На рисунке изображен промежуток от -6 (не включая -6) до 9 (включая 9). То есть, это интервал (-6; 9].

Проверка вариантов:

1. (-6; +∞) и (-6; 9]:

   • (-6; +∞) — это все числа больше -6.
   • (-6; 9] — это все числа больше -6 и до 9 включительно.
   • Объединение этих промежутков дает (-6; +∞), что не совпадает с рисунком. (Не подходит)

2. (-6; 0) и [0; 9]:

   • (-6; 0) — это все числа больше -6 и меньше 0.
   • [0; 9] — это все числа от 0 до 9 включительно.
   • Объединение этих промежутков дает (-6; 9], что совпадает с рисунком. (Подходит)

3. (-∞; -6) и (-∞; 9]:

   • (-∞; -6) — это все числа меньше -6.
   • (-∞; 9] — это все числа меньше 9 включительно.
   • Объединение этих промежутков дает (-∞; 9], что не совпадает с рисунком. (Не подходит)

4. (-6; 9] и (0; 4):

   • (-6; 9] — это все числа больше -6 и до 9 включительно.
   • (0; 4) — это все числа больше 0 и меньше 4.
   • Объединение этих промежутков не дает (-6; 9], так как числа от -6 до 0 не будут покрыты полностью. (Не подходит)

5. (-∞; 9] и (-6; +∞):

   • (-∞; 9] — это все числа меньше 9 включительно.
   • (-6; +∞) — это все числа больше -6.
   • Объединение этих промежутков дает (-∞; +∞), что не совпадает с рисунком. (Не подходит)

Ответ:

Подходит только вариант №2: (-6; 0) и [0; 9].

### 1. Определение промежутка на рисунке

Сначала определим, какой промежуток изображен на координатной прямой:

* Начало промежутка обозначено **выколотой точкой** на $-6$, что означает **$-6$ не входит** в промежуток (интервал).
* Конец промежутка обозначен **закрашенной точкой** на $9$, что означает **$9$ входит** в промежуток (отрезок).
* Все числа между $-6$ и $9$ включены.

Таким образом, на рисунке изображен промежуток **$(-6; 9]$**.

—

### 2. Проверка вариантов объединения

Нам нужно найти пару промежутков, **объединение** которых (операция $\cup$) равно $(-6; 9]$.

* **1) $(-6; +\infty)$ и $(-6; 9]$**
$$(-6; +\infty) \cup (-6; 9] = (-6; +\infty)$$
(Неверно)

* **2) $(-6; 0)$ и $[0; 9]$**
* Промежуток $(-6; 0)$ включает числа $x$ такие, что $-6 < x < 0$.
* Промежуток $[0; 9]$ включает числа $x$ такие, что $0 \le x \le 9$.
* При объединении эти два промежутка сливаются в один, так как точка $0$ включает правый промежуток:
$$(-6; 0) \cup [0; 9] = \mathbf{(-6; 9]}$$
* **Условие выполняется.**

* **3) $(-\infty; -6)$ и $(-\infty; 9]$**
$$(-\infty; -6) \cup (-\infty; 9] = (-\infty; 9]$$
(Неверно)

* **4) $(-6; 9]$ и $(0; 4)$**
$$(-6; 9] \cup (0; 4) = (-6; 9]$$
(Это объединение равно первому промежутку, но не является слиянием двух разных частей)

* **5) $(-\infty; 9]$ и $(-6; +\infty)$**
$$(-\infty; 9] \cup (-6; +\infty) = (-\infty; +\infty)$$
(Неверно)

—

### 3. Ответ ✅

Объединение промежутков $(-6; 0)$ и $[0; 9]$ дает искомый промежуток $(-6; 9]$.

**Правильный вариант ответа:** 2.

1. Переведем рубли в копейки:

   • В 1 рубле 100 копеек.
   • У Толи было 6 рублей, значит, у него было 6 * 100 = 600 копеек.

2. Найдем стоимость альбомов:

   • Один альбом стоит 1 р. 20 к. = 120 к.
   • Толя купил 3 альбома, значит, их стоимость равна 3 * 120 = 360 копеек.

3. Найдем стоимость карандашей:

   • Один карандаш стоит 25 копеек.
   • Толя купил 5 карандашей, значит, их стоимость равна 5 * 25 = 125 копеек.

4. Найдем общую стоимость покупки:

   • Общая стоимость покупки равна стоимости альбомов плюс стоимость карандашей: 360 + 125 = 485 копеек.

5. Найдем, сколько денег осталось у Толи:

   • У Толи было 600 копеек, а покупка стоила 485 копеек.
   • Значит, у него осталось 600 — 485 = 115 копеек.

Ответ:

У Толи осталось 115 копеек (вариант ответа №1).

Для решения задачи необходимо перевести все суммы в копейки, рассчитать общую стоимость покупки и вычесть ее из первоначальной суммы денег.

—

### 1. Перевод всех сумм в копейки

В одном рубле (р.) содержится 100 копеек (к.).

* **Начальная сумма:** $6 \text{ р.} = 6 \cdot 100 \text{ к.} = 600 \text{ к.}$
* **Стоимость одного альбома:** $1 \text{ р.} 20 \text{ к.} = 100 \text{ к.} + 20 \text{ к.} = 120 \text{ к.}$
* **Стоимость одного карандаша:** $25 \text{ к.}$

—

### 2. Расчет общей стоимости покупки

Толя купил 3 альбома и 5 карандашей.

* **Стоимость альбомов:** $3 \cdot 120 \text{ к.} = 360 \text{ к.}$
* **Стоимость карандашей:** $5 \cdot 25 \text{ к.} = 125 \text{ к.}$
* **Общая стоимость покупки:** $360 \text{ к.} + 125 \text{ к.} = 485 \text{ к.}$

—

### 3. Расчет оставшейся суммы

Вычтем общую стоимость покупки из начальной суммы:

* **Остаток:** $600 \text{ к.} — 485 \text{ к.} = 115 \text{ к.}$

—

### 4. Ответ ✅

У Толи осталось **115 копеек**.

**Правильный вариант ответа:** 1) 115 к.

1. Вычислим (\arcsin(-1)):

   • (\arcsin(x)) — это угол, синус которого равен x.
   • Мы ищем угол, синус которого равен -1.
   • Этот угол равен (-\frac{\pi}{2}) или -90 градусов.

2. Вычислим (\frac{38}{\pi} \cdot \arcsin(-1)):

   • (\frac{38}{\pi} \cdot \arcsin(-1) = \frac{38}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -19)

3. Вычислим (-|-7|):

   • Модуль числа |-7| равен 7.
   • Значит, -|-7| = -7.

4. Вычислим все выражение:

   • (\frac{38}{\pi} \cdot \arcsin(-1) — |-7| = -19 — 7 = -26)

Ответ:

Значение выражения равно -26 (вариант ответа №5).

Требуется найти значение выражения:
$$\frac{38}{\pi} \cdot \arcsin(-1) — |-7|$$

—

### 1. Вычисление $\arcsin(-1)$

Функция $\arcsin(x)$ возвращает угол $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $x$.
$$\sin \alpha = -1$$
Этот угол равен **$-\frac{\pi}{2}$**.
$$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$$

—

### 2. Вычисление $|-7|$

Модуль числа — это расстояние от нуля до этого числа на координатной прямой, которое всегда является неотрицательным числом.
$$|-7| = 7$$

—

### 3. Подстановка и окончательный расчет

Подставим найденные значения в исходное выражение:
$$\frac{38}{\pi} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) — 7$$

1. Умножим первую часть выражения:
$$\frac{38}{\pi} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = — \frac{38 \cdot \pi}{2 \cdot \pi} = — \frac{38}{2} = -19$$

2. Вычтем модуль:
$$-19 — 7 = \mathbf{-26}$$

—

### 4. Ответ ✅

Значение выражения равно $-26$.

**Правильный вариант ответа:** 5) $-26$.

1. Найдем сторону квадрата:

   • Диагональ квадрата связана со стороной (a) соотношением: d = a√2.
   • 8 = a√2
   • a = 8/√2 = 4√2

2. Найдем радиус сферы (R):

   • Радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен плоскости α.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы (R), расстоянием от центра сферы до вершины квадрата (4√2) и половиной диагонали квадрата (4).
   • По теореме Пифагора: R² + 4² = (4√2)²
   • R² + 16 = 32
   • R² = 16
   • R = 4

3. Найдем площадь сферы:

   • Площадь сферы (S) находится по формуле: S = 4πR²
   • S = 4π * 4² = 64π

Ответ:

Площадь сферы равна 64π (вариант ответа №3).

Для нахождения площади сферы ($S$) нам необходимо знать ее радиус ($R$). Формула для площади сферы:
$$S = 4\pi R^2$$

### 1. Определение радиуса сферы ($R$)

Рассмотрим геометрию расположения сферы и квадрата.

1. **Касание плоскости:** Сфера касается плоскости $\alpha$ в точке пересечения диагоналей квадрата ($O$).
2. **Радиус и касание:** Радиус, проведенный из центра сферы ($C$) в точку касания ($O$), перпендикулярен плоскости $\alpha$.
3. **Вывод:** Расстояние от центра сферы ($C$) до плоскости $\alpha$ (точки $O$) равно радиусу сферы $\mathbf{R = CO}$.

### 2. Геометрия в плоскости $COV$

Пусть $V$ — одна из вершин квадрата (например, $V = A$).
Рассмотрим треугольник $\triangle COV$, где $C$ — центр сферы, $O$ — точка пересечения диагоналей, $V$ — вершина квадрата.

1. Так как $CO$ перпендикулярно плоскости $\alpha$ и $OV$ лежит в плоскости $\alpha$, то $\triangle COV$ является **прямоугольным** с прямым углом при вершине $O$.
2. Гипотенуза $CV$ — это расстояние от центра сферы до вершины квадрата, которое дано: $\mathbf{CV = 4\sqrt{2}}$.
3. Катет $CO$ — это искомый радиус $R$: $\mathbf{CO = R}$.
4. Катет $OV$ — это половина диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна 8, следовательно: $\mathbf{OV} = \frac{8}{2} = \mathbf{4}$.

### 3. Нахождение радиуса $R$

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle COV$:
$$CV^2 = CO^2 + OV^2$$
$$(4\sqrt{2})^2 = R^2 + 4^2$$
$$16 \cdot 2 = R^2 + 16$$
$$32 = R^2 + 16$$
$$R^2 = 32 — 16$$
$$R^2 = 16$$
$$R = \sqrt{16} = \mathbf{4}$$

### 4. Расчет площади сферы

Теперь, зная радиус $R=4$, найдем площадь сферы:
$$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot (4)^2 = 4\pi \cdot 16 = \mathbf{64\pi}$$

—

### Ответ ✅

Площадь сферы равна $64\pi$.

**Правильный вариант ответа:** 3) $64\pi$.

1. Проверим каждое выражение:

   1. (\frac{1}{\sqrt[5]{a-6}}):

      • При a = -6 выражение превращается в (\frac{1}{\sqrt[5]{-6-6}} = \frac{1}{\sqrt[5]{-12}}).
      • Корень пятой степени из отрицательного числа существует, поэтому выражение имеет смысл.

   2. (\sqrt{a^{5}}):

      • При a = -6 выражение превращается в (\sqrt{(-6)^{5}} = \sqrt{-7776}).
      • Корень четной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел, поэтому выражение не имеет смысла.

   3. (\sqrt[5]{a}):

      • При a = -6 выражение превращается в (\sqrt[5]{-6}).
      • Корень пятой степени из отрицательного числа существует, поэтому выражение имеет смысл.

   4. (\frac{1}{\sqrt[6]{a-6}}):

      • При a = -6 выражение превращается в (\frac{1}{\sqrt[6]{-6-6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{-12}}).
      • Корень четной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел, поэтому выражение не имеет смысла.

   5. (\sqrt[6]{a}):

      • При a = -6 выражение превращается в (\sqrt[6]{-6}).
      • Корень четной степени из отрицательного числа не существует в области действительных чисел, поэтому выражение не имеет смысла.

Ответ:

Имеют смысл выражения под номерами 1 и 3 (варианты ответа №1 и №3).

Выражение имеет смысл, если при подстановке значения **$a = -6$** не возникают следующие недопустимые операции:
1. **Деление на ноль.**
2. **Извлечение корня чётной степени из отрицательного числа.**

Подставим $a = -6$ в каждое выражение и проверим его смысл.

—

### 1. Проверка выражений

| № | Выражение | Подстановка $a = -6$ | Проверка смысла |
| :—: | :—: | :—: | :— |
| **1)** | $\frac{1}{\sqrt[3]{a — 6}}$ | $\frac{1}{\sqrt[3]{-6 — 6}} = \frac{1}{\sqrt[3]{-12}}$ | $\sqrt[3]{-12}$ существует (корень нечетной степени из отрицательного числа). Деление на ноль: $\sqrt[3]{-12} \neq 0$. **Имеет смысл.** |
| **2)** | $\sqrt{a^5}$ | $\sqrt{(-6)^5} = \sqrt{-7776}$ | Корень **чётной** степени (квадратный) из **отрицательного** числа. **Не имеет смысла** (в области действительных чисел). |
| **3)** | $\sqrt[3]{a}$ | $\sqrt[3]{-6}$ | Корень **нечётной** степени из отрицательного числа. **Имеет смысл.** |
| **4)** | $\frac{1}{\sqrt[6]{a — 6}}$ | $\frac{1}{\sqrt[6]{-6 — 6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{-12}}$ | Корень **чётной** степени из **отрицательного** числа. **Не имеет смысла.** |
| **5)** | $6\sqrt{a}$ | $6\sqrt{-6}$ | Корень **чётной** степени из **отрицательного** числа. **Не имеет смысла.** |

—

### 2. Вывод ✅

Выражения, которые имеют смысл при $a = -6$, это выражения **1)** и **3)**.

**Правильные варианты ответа:** 1) и 3).

. Проверим каждое утверждение:

• Утверждение 1: расстояние от точки (C_1) до прямой AB равно длине отрезка (BC_1).

  • Неверно. (BC_1) — наклонная к плоскости (A_1B_1C_1), а расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром. Перпендикуляр от (C_1) к AB будет меньше, чем (BC_1).

• Утверждение 2: расстояние от точки (C_1) до прямой AB равно длине отрезка (C_1M).

  • Неверно. (C_1M) не перпендикулярно AB.

• Утверждение 3: расстояние от точки A до прямой BC равно длине отрезка AB.

  • Верно. Так как (\angle ABC = 90^\circ), AB перпендикулярно BC.

• Утверждение 4: расстояние между прямыми (BB_1) и (CC_1) равно длине отрезка (BC_1).

  • Неверно. (BB_1) и (CC_1) параллельны, расстояние между ними равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой, например, от B до (CC_1). (BC_1) — наклонная.

• Утверждение 5: расстояние между прямыми (A_1B_1) и AB равно длине отрезка (AA_1).

  • Верно. (AA_1) перпендикулярно плоскости, в которой лежат (A_1B_1) и AB.

• Утверждение 6: расстояние от точки B до прямой AC равно длине отрезка BC.

  • Верно. Так как (\angle ABC = 90^\circ), BC перпендикулярно AC.

2. Записываем ответ:

Верные утверждения: 3, 5, 6.

Ответ: 356.

Дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основание $ABC$ — прямоугольный треугольник, где $\angle ABC = 90^{\circ}$. $M$ — середина ребра $AB$.

Проверим каждое утверждение, используя определения расстояний в пространстве и свойства прямой призмы.

—

### 1. Расстояние от точки $C_1$ до прямой $AB$ равно длине отрезка $BC_1$

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.
1. Так как призма **прямая**, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то $BB_1 \perp AB$.
2. По условию, $\angle ABC = 90^{\circ}$, следовательно, $CB \perp AB$.
3. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция $CB$ перпендикулярна прямой $AB$, то наклонная $C_1B$ также должна быть перпендикулярна $AB$ в точке $B$.
* **Важно:** $\mathbf{CB}$ перпендикулярна $AB$ в точке $B$.
* $CB$ — проекция $C_1B$ на плоскость $ABC$.
* Отсюда $\mathbf{C_1B \perp AB}$.
4. Следовательно, расстояние от $C_1$ до $AB$ равно длине отрезка **$C_1B$**.
* Утверждение говорит, что расстояние равно $\mathbf{BC_1}$. Это **ВЕРНО**.

### 2. Расстояние от точки $C_1$ до прямой $AB$ равно длине отрезка $C_1M$

Расстояние, как показано в п. 1, равно $C_1B$. Так как $M$ — середина $AB$, и $B$ — точка, где перпендикуляр пересекает $AB$, то $M \neq B$ (если $AB > 0$).
* **Расстояние равно $C_1B$**, а не $C_1M$. Это **НЕВЕРНО**.

### 3. Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно длине отрезка $AB$

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на $BC$.
1. По условию, $\angle ABC = 90^{\circ}$, следовательно, прямая **$AB$ перпендикулярна $BC$**.
2. Таким образом, отрезок **$AB$** является перпендикуляром, опущенным из $A$ на $BC$.
3. Следовательно, расстояние от $A$ до $BC$ равно длине отрезка $AB$. Это **ВЕРНО**.

### 4. Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ равно длине отрезка $BC_1$

Расстояние между параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного обеим прямым, соединяющего их.
1. $BB_1$ и $CC_1$ — параллельные боковые ребра прямой призмы.
2. Перпендикуляром к этим прямым, лежащим в плоскости основания, является $BC$ ($\angle B_1BC = 90^{\circ}$ и $\angle B CC_1 = 90^{\circ}$).
3. Следовательно, расстояние между $BB_1$ и $CC_1$ равно длине отрезка **$BC$**.
* Утверждение говорит, что расстояние равно $\mathbf{BC_1}$. Это **НЕВЕРНО**.

### 5. Расстояние между прямыми $A_1B_1$ и $AB$ равно длине отрезка $AA_1$

Расстояние между параллельными прямыми $A_1B_1$ и $AB$ равно длине их общего перпендикуляра.
1. $A_1B_1$ и $AB$ — ребра оснований, лежащие в параллельных плоскостях.
2. Прямая $AA_1$ — боковое ребро прямой призмы, перпендикулярное обеим плоскостям оснований.
3. Следовательно, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp A_1B_1$.
4. Расстояние между $A_1B_1$ и $AB$ равно длине отрезка **$AA_1$**. Это **ВЕРНО**.

### 6. Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно длине отрезка $BC$

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $B$ на $AC$.
1. Поскольку $\angle ABC = 90^{\circ}$, $BC$ перпендикулярен $AB$, а не $AC$ (кроме случая, когда $ABC$ равнобедренный, что не гарантировано).
2. Для этого расстояния нужно опустить высоту $BH$ на гипотенузу $AC$ ($BH \perp AC$).
3. Так как $AC$ — гипотенуза, $BC$ не перпендикулярно $AC$.
* **Расстояние равно $BH$**, а не $BC$. Это **НЕВЕРНО**.

—

### Вывод

Верными являются утверждения **1, 3, 5**.

**Ответ:** 135 (или 315, 513 и т.д.)

А) Точка пересечения с осью ординат:

• Точка пересечения графика функции с осью ординат находится при x = 0.
• Подставим x = 0 в уравнение функции: f(0) = 0² + 4*0 — 5 = -5.
• Точка пересечения с осью ординат имеет координаты (0; -5).
• Сумма координат точки пересечения равна 0 + (-5) = -5.

Б) Сумма нулей функции:

• Нули функции — это значения x, при которых f(x) = 0.
• Решим квадратное уравнение: x² + 4x — 5 = 0.
• По теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна -b/a.
• В нашем случае, a = 1, b = 4, c = -5.
• Сумма нулей функции равна -4/1 = -4.

В) Наименьшее значение функции:

• График функции f(x) = x² + 4x — 5 является параболой, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при x² положительный).
• Наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.
• Абсцисса вершины параболы находится по формуле: x_в = -b / 2a.
• В нашем случае, x_в = -4 / 2*1 = -2.
• Подставим x_в = -2 в уравнение функции, чтобы найти наименьшее значение: f(-2) = (-2)² + 4*(-2) — 5 = 4 — 8 — 5 = -9.

Ответ:

А5Б2В4

Дана функция $f(x) = x^2 + 4x — 5$, которая является параболой, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$).

—

### А) Сумма координат точки пересечения графика данной функции с осью ординат

График функции пересекает ось ординат ($\mathbf{Oy}$) в точке, где $\mathbf{x = 0}$.

1. Найдем координату $y$ этой точки, подставив $x=0$ в функцию:
$$f(0) = (0)^2 + 4(0) — 5 = -5$$
2. Точка пересечения: $\mathbf{(0; -5)}$.
3. Сумма координат: $0 + (-5) = \mathbf{-5}$.

**A $\to$ 5**

—

### Б) Сумма нулей данной функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней (нулей) $x_1$ и $x_2$ по **теореме Виета** равна $\mathbf{-p}$.

1. Уравнение: $x^2 + 4x — 5 = 0$.
2. Коэффициент $p = 4$.
3. Сумма нулей: $x_1 + x_2 = -4$.

*Проверка (необязательно):* $x^2 + 4x — 5 = 0 \implies (x+5)(x-1) = 0$. Корни $x_1=-5, x_2=1$. Сумма: $-5 + 1 = -4$.

**Б $\to$ 2**

—

### В) Наименьшее значение данной функции на области определения

Так как ветви параболы $f(x) = x^2 + 4x — 5$ направлены вверх, наименьшее значение функции достигается в **вершине параболы**.

1. Найдем координату $x$ вершины:
$$x_в = -\frac{p}{2} = -\frac{4}{2} = -2$$
2. Найдем наименьшее значение функции, подставив $x_в = -2$ в функцию:
$$f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) — 5 = 4 — 8 — 5 = \mathbf{-9}$$

**В $\to$ 4**

—

### Окончательный ответ

Сочетание букв и цифр, в алфавитной последовательности букв:

| Начало | Окончание |
| :—: | :—: |
| **A** | **5** |
| **Б** | **2** |
| **В** | **4** |

**Ответ:** А5Б2В4

1. Найдем первое число, кратное 9 и больше 141:

   • Разделим 141 на 9: 141 / 9 = 15,666…
   • Ближайшее целое число больше 15,666… равно 16.
   • Первое число, кратное 9 и больше 141, равно 16 * 9 = 144.

2. Найдем последнее число, кратное 9 и меньше 170:

   • Разделим 170 на 9: 170 / 9 = 18,888…
   • Ближайшее целое число меньше 18,888… равно 18.
   • Последнее число, кратное 9 и меньше 170, равно 18 * 9 = 162.

3. Найдем все числа, кратные 9, больше 141 и меньше 170:

   • Это числа: 144, 153, 162.

4. Найдем сумму этих чисел:

   • 144 + 153 + 162 = 459.

Ответ:

Сумма всех натуральных чисел, которые кратны 9 и больше 141, но меньше 170, равна 459.

Требуется найти сумму всех натуральных чисел $n$, которые удовлетворяют условиям:
1. Число кратно **9** (делится на 9 без остатка).
2. $141 < n < 170$.

—

### 1. Нахождение первого и последнего числа

Искомые числа образуют **арифметическую прогрессию** с разностью $d=9$.

1. **Находим первое число ($a_1$)**:
Разделим 141 на 9, чтобы найти ближайшее большее кратное 9:
$$141 \div 9 = 15 \text{ (остаток 6)}$$
Ближайшее большее число, кратное 9, равно $9 \cdot (15 + 1) = 9 \cdot 16 = \mathbf{144}$.
Таким образом, $\mathbf{a_1 = 144}$.

2. **Находим последнее число ($a_k$)**:
Разделим 170 на 9, чтобы найти ближайшее меньшее кратное 9:
$$170 \div 9 = 18 \text{ (остаток 8)}$$
Ближайшее меньшее число, кратное 9, равно $9 \cdot 18 = \mathbf{162}$.
Таким образом, $\mathbf{a_k = 162}$.

Следовательно, искомые числа: **144, 153, 162**.

—

### 2. Расчет суммы

Сумма этих чисел:
$$S = 144 + 153 + 162$$
$$S = (144 + 162) + 153$$
$$S = 306 + 153 = \mathbf{459}$$

*Альтернативный способ (через формулу суммы арифметической прогрессии):*
1. **Находим количество чисел ($k$)**:
$$k = \frac{a_k — a_1}{d} + 1 = \frac{162 — 144}{9} + 1 = \frac{18}{9} + 1 = 2 + 1 = 3$$
2. **Находим сумму ($S_k$)**:
$$S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k = \frac{144 + 162}{2} \cdot 3 = \frac{306}{2} \cdot 3 = 153 \cdot 3 = \mathbf{459}$$

—

### Ответ ✅

Сумма всех натуральных чисел, кратных 9 и лежащих в интервале $(141; 170)$, равна **459**.

**Ответ:** 459

1. Найдем cos α:

   • Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin²α + cos²α = 1.
   • cos²α = 1 — sin²α = 1 — (\frac{1}{25}) = (\frac{24}{25}).
   • cos α = ±(\sqrt{\frac{24}{25}}) = ±(\frac{2\sqrt{6}}{5}).
   • Поскольку нам не дано никаких уточнений относительно знака cos α, рассмотрим оба варианта.

2. Найдем ctg α:

   • ctg α = (\frac{cos α}{sin α}).
   • Если cos α = (\frac{2\sqrt{6}}{5}), то ctg α = (\frac{2\sqrt{6}}{5}) / (\frac{1}{5}) = 2(\sqrt{6}).
   • Если cos α = -(\frac{2\sqrt{6}}{5}), то ctg α = -(\frac{2\sqrt{6}}{5}) / (\frac{1}{5}) = -2(\sqrt{6}).

3. Найдем ctg2α:

   • Воспользуемся формулой для ctg двойного угла: ctg2α = (\frac{ctg²α — 1}{2 ctg α}).
   • Вариант 1: Если ctg α = 2(\sqrt{6}), то ctg2α = (\frac{(2\sqrt{6})² — 1}{2 * 2\sqrt{6}}) = (\frac{24 — 1}{4\sqrt{6}}) = (\frac{23}{4\sqrt{6}}) = (\frac{23\sqrt{6}}{24}).
   • Вариант 2: Если ctg α = -2(\sqrt{6}), то ctg2α = (\frac{(-2\sqrt{6})² — 1}{2 * (-2\sqrt{6})}) = (\frac{24 — 1}{-4\sqrt{6}}) = -(\frac{23}{4\sqrt{6}}) = -(\frac{23\sqrt{6}}{24}).

Ответ:

В зависимости от знака cos α, ctg2α может принимать два значения: (\frac{23\sqrt{6}}{24}) или -(\frac{23\sqrt{6}}{24}).

Поскольку в задании sin α = (\frac{1}{5}), угол α может находиться в первой или второй четверти. В первой четверти cos α > 0, во второй cos α < 0. Соответственно, получаем два варианта ответа.

Требуется найти значение выражения $\mathbf{\text{ctg}^2 \alpha}$, зная, что $\mathbf{\sin \alpha = \frac{1}{5}}$.

—

### 1. Использование основного тригонометрического тождества

Используем основное тригонометрическое тождество для нахождения $\cos^2 \alpha$:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Подставим известное значение $\sin \alpha = \frac{1}{5}$:
$$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$
$$\frac{1}{25} + \cos^2 \alpha = 1$$
$$\cos^2 \alpha = 1 — \frac{1}{25}$$
$$\cos^2 \alpha = \frac{25 — 1}{25} = \frac{24}{25}$$

—

### 2. Вычисление $\text{ctg}^2 \alpha$

Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Следовательно, квадрат котангенса:
$$\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$$

Подставим найденные значения $\cos^2 \alpha = \frac{24}{25}$ и $\sin^2 \alpha = \frac{1}{25}$:
$$\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{1}{25}}$$
$$\text{ctg}^2 \alpha = \frac{24}{25} \cdot \frac{25}{1} = \mathbf{24}$$

—

### 3. Альтернативный способ (через формулу)

Можно использовать тождество, связывающее $\text{ctg}^2 \alpha$ и $\sin^2 \alpha$:
$$1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$

Выразим $\text{ctg}^2 \alpha$:
$$\text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} — 1$$

Подставим $\sin \alpha = \frac{1}{5}$:
$$\text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\left(\frac{1}{5}\right)^2} — 1 = \frac{1}{\frac{1}{25}} — 1 = 25 — 1 = \mathbf{24}$$

—

### Ответ ✅

Значение выражения $\text{ctg}^2 \alpha$ равно **24**.

**Ответ:** 24

1. Определим гипотенузу AB:

   • Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы.
   • Радиус этой окружности равен половине гипотенузы.
   • Значит, длина гипотенузы AB равна 2 * (18\sqrt{2}) = (36\sqrt{2}).

2. Найдем косинус угла ACB (cos∠ACB):

   • В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
   • cos∠ACB = BC / AB = (\frac{6\sqrt{2}}{36\sqrt{2}}) = (\frac{6}{36}) = (\frac{1}{6}).

3. Вычислим значение выражения 90 — cos∠ACB:

   • 90 — cos∠ACB = 90 — (\frac{1}{6}) = (\frac{540}{6}) — (\frac{1}{6}) = (\frac{539}{6}) = 89(\frac{5}{6}).

Ответ:

Значение выражения 90 — cos∠ACB равно 89(\frac{5}{6}) или (\frac{539}{6}).

Нам дано:
1. Треугольник $ABC$ **прямоугольный** ($\angle ABC = 90^{\circ}$).
2. Радиус описанной окружности $R = 18\sqrt{2}$.
3. Длина катета $BC = 6\sqrt{2}$.
4. Нужно найти значение выражения: $90 \cdot \cos \angle ACB$.

—

### 1. Нахождение гипотенузы $AC$

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на **середине гипотенузы**. Следовательно, радиус описанной окружности $R$ равен половине длины гипотенузы $AC$:
$$R = \frac{AC}{2}$$
Отсюда, длина гипотенузы $AC$:
$$AC = 2R = 2 \cdot 18\sqrt{2} = \mathbf{36\sqrt{2}}$$

—

### 2. Нахождение $\cos \angle ACB$

Косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение **прилежащего катета** к **гипотенузе**.
Для угла $\angle ACB$ (обозначим его $\gamma$):
* Прилежащий катет: $BC = 6\sqrt{2}$.
* Гипотенуза: $AC = 36\sqrt{2}$.

$$\cos \angle ACB = \frac{BC}{AC} = \frac{6\sqrt{2}}{36\sqrt{2}}$$
$$\cos \angle ACB = \frac{6}{36} = \mathbf{\frac{1}{6}}$$

—

### 3. Вычисление итогового выражения

Подставим найденное значение косинуса в требуемое выражение:
$$90 \cdot \cos \angle ACB = 90 \cdot \frac{1}{6}$$
$$90 \cdot \frac{1}{6} = \frac{90}{6} = \mathbf{15}$$

—

### Ответ ✅

Значение выражения $90 \cdot \cos \angle ACB$ равно **15**.

**Ответ:** 15

1. Найдем знаменатель прогрессии (q):

   • В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель.
   • Значит, шестой член равен пятому члену, умноженному на знаменатель: 96 = 48 * q q = 96 / 48 = 2

2. Найдем первый член прогрессии (b1):

   • Пятый член можно выразить через первый член и знаменатель: b5 = b1 * q^4.
   • Подставим известные значения: 48 = b1 * 2^4
   • 48 = b1 * 16
   • b1 = 48 / 16 = 3

3. Найдем сумму четырех первых членов прогрессии (S4):

   • Сумма n первых членов геометрической прогрессии находится по формуле: Sn = b1 * (q^n — 1) / (q — 1)
   • Подставим известные значения: S4 = 3 * (2^4 — 1) / (2 — 1)
   • S4 = 3 * (16 — 1) / 1
   • S4 = 3 * 15 = 45

Ответ:

Сумма четырех первых членов геометрической прогрессии равна 45.

Даны два последовательных члена геометрической прогрессии:
* Пятый член: $b_5 = 48$
* Шестой член: $b_6 = 96$

Требуется найти сумму первых четырех членов: $S_4$.

—

### 1. Нахождение знаменателя прогрессии ($q$)

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ находится как отношение любого члена к предыдущему:
$$q = \frac{b_6}{b_5} = \frac{96}{48} = \mathbf{2}$$

—

### 2. Нахождение первого члена прогрессии ($b_1$)

Формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Используем $b_5$ и $q=2$:
$$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$$
$$48 = b_1 \cdot 2^4$$
$$48 = b_1 \cdot 16$$
$$b_1 = \frac{48}{16} = \mathbf{3}$$

—

### 3. Нахождение суммы первых четырех членов ($S_4$)

Формула суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$$S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}$$

Для $n=4$, $b_1=3$, и $q=2$:
$$S_4 = \frac{3(2^4 — 1)}{2 — 1}$$
$$S_4 = \frac{3(16 — 1)}{1}$$
$$S_4 = 3 \cdot 15 = \mathbf{45}$$

—

### Ответ ✅

Сумма четырех первых членов этой прогрессии равна **45**.

**Ответ:** 45

1. Переведем рубли в копейки:

   • В 1 рубле 100 копеек.
   • Проездной билет стоит 39 * 100 = 3900 копеек.

2. Найдем 75% от стоимости поездок:

   • 75% = 0,75
   • 75% от суммы денег, потраченных на поездки, равны стоимости проездного билета, то есть 3900 копеек.

3. Найдем общую сумму, потраченную на поездки:

   • Пусть x — общая сумма, потраченная на поездки.
   • 0,75x = 3900
   • x = 3900 / 0,75 = 5200 копеек.

4. Найдем количество поездок:

   • Одна поездка стоит 80 копеек.
   • Количество поездок равно общей сумме, деленной на стоимость одной поездки: 5200 / 80 = 65.

Ответ:

Маша совершила 65 поездок на автобусе за месяц.

### 1. Перевод стоимости в копейки и определение общей суммы расходов

Сначала переведем все рубли в копейки (1 рубль = 100 копеек):
* Стоимость проездного билета: $39 \text{ р.} = \mathbf{3900 \text{ к.}}$
* Стоимость одного билета на поездку: $\mathbf{80 \text{ к.}}$

Пусть **$S$** — общая сумма денег, которую Маша потратила за месяц на оплату поездок.

По условию, $\mathbf{75 \%}$ от этой суммы $\mathbf{S}$ равны стоимости проездного билета (3900 к.):
$$0,75 \cdot S = 3900$$

—

### 2. Нахождение общей суммы расходов ($S$)

Выразим $S$:
$$S = \frac{3900}{0,75}$$
$$S = \frac{3900}{\frac{3}{4}} = 3900 \cdot \frac{4}{3}$$
$$S = \frac{3900}{3} \cdot 4 = 1300 \cdot 4 = \mathbf{5200 \text{ к.}}$$

Общая сумма, которую Маша потратила за месяц, покупая только билеты на одну поездку, составила **5200 копеек**.

—

### 3. Расчет количества поездок ($N$)

Пусть $N$ — количество поездок. Общая сумма $S$ равна количеству поездок $N$, умноженному на стоимость одной поездки (80 к.):
$$N \cdot 80 = S$$
$$N = \frac{S}{80}$$

Подставим $S = 5200$:
$$N = \frac{5200}{80} = \frac{520}{8}$$

Разделим 520 на 8:
$$N = 65$$

—

### Ответ ✅

Маша совершила **65** поездок на автобусе за месяц.

**Ответ:** 65

1. Решим двойное неравенство:

   • Умножим все части неравенства на 2: -64 ≤ 3x — 2 < 54
   • Прибавим 2 ко всем частям неравенства: -62 ≤ 3x < 56
   • Разделим все части неравенства на 3: -(\frac{62}{3}) ≤ x < (\frac{56}{3})
   • -20,666… ≤ x < 18,666…

2. Найдем наименьшее целое решение:

   • Наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно -20.

3. Найдем наибольшее целое решение:

   • Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно 18.

4. Найдем сумму наименьшего и наибольшего целых решений:

   • -20 + 18 = -2.

Ответ:

Сумма наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства равна -2.

Требуется найти сумму наименьшего и наибольшего **целых** решений двойного неравенства:
$$-3 \le 2 — \frac{3x — 2}{2} < 27$$

—

### 1. Упрощение двойного неравенства

Сначала вычтем **2** из всех частей неравенства:
$$-3 — 2 \le -\frac{3x — 2}{2} < 27 — 2$$
$$-5 \le -\frac{3x — 2}{2} < 25$$ Теперь умножим все части на **$-2$**. При умножении на отрицательное число **знаки неравенства меняются** на противоположные: $$(-5) \cdot (-2) \ge (3x — 2) > 25 \cdot (-2)$$
$$10 \ge 3x — 2 > -50$$

Перепишем неравенство в более привычном порядке (от меньшего к большему):
$$-50 < 3x — 2 \le 10$$

—

### 2. Выделение $x$

Прибавим **2** ко всем частям неравенства:
$$-50 + 2 < 3x \le 10 + 2$$
$$-48 < 3x \le 12$$

Разделим все части на **3**:
$$\frac{-48}{3} < x \le \frac{12}{3}$$
$$\mathbf{-16 < x \le 4}$$

—

### 3. Нахождение наибольшего и наименьшего целых решений

Промежуток решений $x$ — это $(-16; 4]$.

1. **Наименьшее целое решение ($x_{min}$):**
Так как $x$ строго больше $-16$, наименьшее целое число в этом промежутке — это $\mathbf{-15}$.
2. **Наибольшее целое решение ($x_{max}$):**
Так как $x$ меньше или равно $4$, наибольшее целое число в этом промежутке — это $\mathbf{4}$.

—

### 4. Расчет требуемой суммы

Найдем сумму наименьшего и наибольшего целых решений:
$$\text{Сумма} = x_{min} + x_{max} = -15 + 4 = \mathbf{-11}$$

—

### Ответ ✅

Сумма наименьшего и наибольшего целых решений неравенства равна **$-11$**.

**Ответ:** -11

Решение задачи:

Условие:

Функция y = f(x) определена на множестве действительных чисел. Точки A(3; -2/3) и B(6; -3/4) принадлежат графику данной функции. Найдите значение выражения 6f(-3) + 8f(-6), если известно, что график функции y = f(x) симметричен относительно оси ординат.

Решение:

1. Свойство симметрии относительно оси ординат:

   • Если график функции симметричен относительно оси ординат, то для любой точки (x; y) на графике точка (-x; y) также будет принадлежать графику.
   • Это означает, что f(-x) = f(x) для всех x.

2. Найдем f(-3) и f(-6):

   • Так как график симметричен относительно оси ординат, то f(-3) = f(3) и f(-6) = f(6).
   • Из условия задачи нам дано, что f(3) = -2/3 и f(6) = -3/4.
   • Следовательно, f(-3) = -2/3 и f(-6) = -3/4.

3. Вычислим значение выражения:

   • 6f(-3) + 8f(-6) = 6 * (-2/3) + 8 * (-3/4) = -4 — 6 = -10.

Ответ:

Значение выражения 6f(-3) + 8f(-6) равно -10.

Нам нужно найти значение выражения $\mathbf{6f(-3) + 8f(-6)}$, если известно, что график функции $y = f(x)$ симметричен относительно **оси ординат** ($\mathbf{Oy}$), и даны две точки на графике: $A\left(3; \frac{2}{3}\right)$ и $B\left(6; \frac{3}{4}\right)$.

—

### 1. Определение типа функции

Если график функции симметричен относительно оси ординат, это означает, что функция является **чётной**.

Определение чётной функции:
$$\mathbf{f(-x) = f(x)}$$
для всех $x$ из области определения.

—

### 2. Использование данных точек

Поскольку точки $A$ и $B$ принадлежат графику функции, мы имеем:
* Для точки $A\left(3; \frac{2}{3}\right)$: $f(3) = \frac{2}{3}$.
* Для точки $B\left(6; \frac{3}{4}\right)$: $f(6) = \frac{3}{4}$.

Используя свойство чётной функции $f(-x) = f(x)$:
* $f(-3) = f(3) = \frac{2}{3}$.
* $f(-6) = f(6) = \frac{3}{4}$.

—

### 3. Вычисление выражения

Подставим найденные значения $f(-3)$ и $f(-6)$ в искомое выражение $6f(-3) + 8f(-6)$:

$$6f(-3) + 8f(-6) = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) + 8 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)$$

Выполним умножение:
$$6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$$
$$8 \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{4} = \frac{24}{4} = 6$$

Сложим результаты:
$$4 + 6 = \mathbf{10}$$

—

### Ответ ✅

Значение выражения $6f(-3) + 8f(-6)$ равно **10**.

**Ответ:** 10

1. Связь радиуса вписанной окружности с площадью правильного шестиугольника:

Площадь правильного шестиугольника можно найти, зная радиус вписанной окружности (r) и сторону шестиугольника (a):

S = (\frac{1}{2}) * P * r,

где P — периметр шестиугольника.

Периметр правильного шестиугольника равен 6a.

Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник связан со стороной шестиугольника формулой:

r = (\frac{\sqrt{3}}{2}) * a

Отсюда выразим сторону a через радиус r:

a = (\frac{2r}{\sqrt{3}})

2. Выразим площадь шестиугольника через радиус вписанной окружности:

Подставим выражение для a в формулу площади:

S = (\frac{1}{2}) * 6a * r = 3ar = 3 * (\frac{2r}{\sqrt{3}}) * r = (\frac{6r^2}{\sqrt{3}}) = 2(\sqrt{3})r²

3. Подставим значение радиуса и найдем площадь:

r = (7\sqrt{3})

S = 2(\sqrt{3}) * (7(\sqrt{3}))² = 2(\sqrt{3}) * 49 * 3 = 294(\sqrt{3})

4. Найдем значение выражения (\frac{S}{\sqrt{3}}):

(\frac{S}{\sqrt{3}}) = (\frac{294\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) = 294

Ответ:

Значение выражения (\frac{S}{\sqrt{3}}) равно 294.

1. Упростим правую часть уравнения:

   • log₂24 — log₂3 = log₂(24/3) = log₂8 = 3.

2. Перепишем уравнение:

   • log₂²x — 2log₂x = 3.

3. Сделаем замену переменной:

   • Пусть y = log₂x. Тогда уравнение примет вид: y² — 2y = 3.

4. Решим квадратное уравнение:

   • y² — 2y — 3 = 0.
   • (y — 3)(y + 1) = 0.
   • y₁ = 3, y₂ = -1.

5. Вернемся к исходной переменной:

   • log₂x₁ = 3.
   • x₁ = 2³ = 8.
   • log₂x₂ = -1.
   • x₂ = 2⁻¹ = 1/2.

6. Найдем произведение корней:

   • x₁ * x₂ = 8 * (1/2) = 4.

7. Увеличим произведение в 11 раз:

   • 4 * 11 = 44.

Ответ:

Произведение корней уравнения, увеличенное в 11 раз, равно 44.

Требуется найти произведение корней уравнения $\log_2^2 x — 2\log_2 x = \log_2 24 — \log_2 3$ и увеличить его в 11 раз.

—

### 1. Упрощение уравнения

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Сначала упростим правую часть, используя свойство разности логарифмов $\log_a b — \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:
$$\log_2 24 — \log_2 3 = \log_2 \left(\frac{24}{3}\right) = \log_2 8$$
Так как $8 = 2^3$, то $\log_2 8 = 3$.

Исходное уравнение преобразуется к виду:
$$\log_2^2 x — 2\log_2 x = 3$$
$$\log_2^2 x — 2\log_2 x — 3 = 0$$

—

### 2. Решение относительно $\log_2 x$

Введем замену переменной: $\mathbf{t = \log_2 x}$. Получаем квадратное уравнение:
$$t^2 — 2t — 3 = 0$$

Найдем корни $t_1$ и $t_2$ по теореме Виета (сумма $t_1+t_2=2$, произведение $t_1 t_2=-3$):
$$\mathbf{t_1 = 3}$$
$$\mathbf{t_2 = -1}$$

—

### 3. Нахождение корней $x$

Возвращаемся к переменной $x$:
* **Для $t_1 = 3$:**
$$\log_2 x_1 = 3 \implies x_1 = 2^3 = \mathbf{8}$$
* **Для $t_2 = -1$:**
$$\log_2 x_2 = -1 \implies x_2 = 2^{-1} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$

Оба корня ($8$ и $\frac{1}{2}$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

—

### 4. Вычисление итогового ответа

Находим произведение корней:
$$\text{Произведение} = x_1 \cdot x_2 = 8 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{4}$$

Требуется записать в ответ произведение, **увеличенное в 11 раз**:
$$\text{Искомое значение} = 4 \cdot 11 = \mathbf{44}$$

**Ответ:** 44

1. Обозначим числитель и знаменатель исходной дроби:

   • Пусть числитель исходной дроби равен x, а знаменатель равен y.

2. Запишем условие деления знаменателя на числитель:

   • y = 8x + 3

3. Запишем условие про увеличение числителя:

   • После увеличения числителя на 75%, он станет равен x + 0.75x = 1.75x.
   • Полученная дробь будет равна 1.75x / y = 1/5.

4. Решим систему уравнений:

   • Выразим y из второго уравнения: y = 5 * 1.75x = 8.75x.
   • Подставим это выражение в первое уравнение: 8.75x = 8x + 3.
   • 0.75x = 3
   • x = 3 / 0.75 = 4

5. Найдем знаменатель y:

   • y = 8x + 3 = 8 * 4 + 3 = 35.

6. Запишем исходную дробь:

   • Исходная дробь равна 4/35.

7. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) числителя и знаменателя:

   • НОК(4, 35) = 140 (так как 4 и 35 — взаимно простые числа).

Ответ:

Наименьшее общее кратное числителя и знаменателя исходной дроби равно 140.

Требуется найти наименьшее общее кратное (НОК) числителя и знаменателя **правильной несократимой дроби** $\frac{a}{b}$ на основе следующих условий:
1. При делении знаменателя $b$ на числитель $a$ неполное частное равно 8, а остаток равен 3.
2. Если числитель $a$ увеличить на $75\%$, то полученная дробь будет равна $\frac{1}{5}$.

### 1. Составление системы уравнений

Пусть $a$ — числитель, $b$ — знаменатель.
* **Условие 1** (Деление с остатком):
По правилу деления с остатком ($b = q \cdot a + r$):
$$b = 8a + 3 \quad (*)$$
* **Условие 2** (Изменение дроби):
Увеличение числителя на $75\%$ означает умножение на $1 + 0,75 = 1,75 = \frac{7}{4}$.
$$\frac{a \cdot 1,75}{b} = \frac{1}{5}$$
$$\frac{\frac{7}{4} a}{b} = \frac{1}{5}$$
$$\frac{7a}{4b} = \frac{1}{5}$$
Перемножим крест-накрест:
$$7a \cdot 5 = 4b \cdot 1$$
$$\mathbf{35a = 4b} \quad (**)$$

### 2. Нахождение числителя и знаменателя

Подставим выражение для $b$ из уравнения $(*)$ в уравнение $(**)$:
$$35a = 4(8a + 3)$$
$$35a = 32a + 12$$
$$35a — 32a = 12$$
$$3a = 12$$
$$\mathbf{a = 4}$$

Теперь найдем $b$, используя уравнение $(*)$:
$$b = 8a + 3 = 8(4) + 3 = 32 + 3$$
$$\mathbf{b = 35}$$

Исходная дробь: $\frac{4}{35}$. Проверка: дробь правильная ($4 < 35$) и несократимая ($\text{НОД}(4, 35) = 1$).

### 3. Нахождение НОК

Требуется найти наименьшее общее кратное (НОК) числителя $a=4$ и знаменателя $b=35$.

Так как числа 4 и 35 являются взаимно простыми ($\text{НОД}(4, 35) = 1$), их НОК равно их произведению:
$$\text{НОК}(4, 35) = 4 \cdot 35 = \mathbf{140}$$

—

**Ответ:** 140

1. Найдем сторону квадрата:

   • Площадь квадрата равна 100.
   • Следовательно, сторона квадрата равна (\sqrt{100}) = 10.

2. Найдем радиус основания цилиндра:

   • Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной основаниям. В сечении получится прямоугольник, одна сторона которого равна стороне квадрата (10), а другая — высоте цилиндра (h).
   • Диагональ этого прямоугольника является диаметром основания цилиндра.
   • Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения ((\sqrt{39})) является катетом прямоугольного треугольника, где второй катет равен половине стороны квадрата (5), а гипотенуза равна радиусу основания цилиндра (r).
   • По теореме Пифагора: r² = ((\sqrt{39}))² + 5²
   • r² = 39 + 25 = 64
   • r = (\sqrt{64}) = 8

3. Найдем высоту цилиндра:

   • Высота цилиндра равна стороне квадрата, то есть h = 10.

4. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра (S):

   • S = 2πrh = 2π * 8 * 10 = 160π

5. Найдем значение выражения (\frac{S}{\pi}):

   • (\frac{S}{\pi}) = (\frac{160\pi}{\pi}) = 160

Ответ:

Значение выражения (\frac{S}{\pi}) равно 160.

Требуется найти значение выражения $\frac{S}{\pi}$, где $S$ — площадь боковой поверхности цилиндра, если известно:
1. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является **квадратом** площадью $\mathbf{100}$.
2. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно $\mathbf{\sqrt{39}}$.

—

### 1. Определение параметров цилиндра

Известно, что сечение — квадрат площадью 100. Сторона квадрата $a$:
$$a = \sqrt{100} = \mathbf{10}$$

В сечении, параллельном оси цилиндра, одна сторона квадрата — это **высота цилиндра** ($H$), а другая — **хорда основания** ($c$):
$$H = 10$$
$$c = 10$$

### 2. Нахождение радиуса основания ($R$)

Рассмотрим прямоугольный треугольник в плоскости основания, образованный радиусом $R$, расстоянием $d$ от оси до хорды, и половиной хорды $\frac{c}{2}$. $R$ является гипотенузой.

* Половина хорды: $\frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
* Расстояние от оси до плоскости сечения: $d = \sqrt{39}$.

Применим теорему Пифагора:
$$R^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + d^2$$
$$R^2 = 5^2 + (\sqrt{39})^2$$
$$R^2 = 25 + 39$$
$$R^2 = 64$$
$$R = \sqrt{64} = \mathbf{8}$$

### 3. Расчет площади боковой поверхности ($S$)

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
$$S = 2\pi RH$$
Подставим найденные значения $R=8$ и $H=10$:
$$S = 2\pi \cdot 8 \cdot 10 = \mathbf{160\pi}$$

### 4. Вычисление итогового выражения

Требуется найти значение выражения $\frac{S}{\pi}$:
$$\frac{S}{\pi} = \frac{160\pi}{\pi} = \mathbf{160}$$

—

**Ответ:** 160

1. Преобразуем степени:

Заметим, что 8 = 2³ и 4 = 2². Перепишем неравенство, используя это:

[(2^3)^{2x-32} + 10 \cdot (2^2)^{3x-49} > 56]

[2^{6x-96} + 10 \cdot 2^{6x-98} > 56]

2. Вынесем общий множитель:

Вынесем (2^{6x-98}) за скобки:

[2^{6x-98}(2^2 + 10) > 56]

[2^{6x-98}(4 + 10) > 56]

[2^{6x-98} \cdot 14 > 56]

3. Разделим обе части на 14:

[2^{6x-98} > 4]

4. Представим 4 как степень 2:

[2^{6x-98} > 2^2]

5. Сравним показатели степеней:

Так как основание степени (2) больше 1, мы можем сравнить показатели степеней:

[6x — 98 > 2]

6. Решим неравенство относительно x:

[6x > 100]

[x > \frac{100}{6} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}]

7. Найдем наименьшее целое решение:

Наименьшее целое число, большее (16\frac{2}{3}), равно 17.

Ответ:

Наименьшее целое решение неравенства равно 17.

Требуется найти наименьшее целое решение неравенства:
$$\mathbf{8^{2x-32} + 10 \cdot 4^{3x-49} > 56}$$

—

### 1. Приведение к общему основанию

Перепишем основания $8$ и $4$ в виде степени числа $2$: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

$$8^{2x-32} = (2^3)^{2x-32} = 2^{3(2x-32)} = 2^{6x-96}$$
$$4^{3x-49} = (2^2)^{3x-49} = 2^{2(3x-49)} = 2^{6x-98}$$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$$2^{6x-96} + 10 \cdot 2^{6x-98} > 56$$

—

### 2. Вынесение общего множителя

Заметим, что $6x-96 = 6x-98 + 2$. Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$$2^{6x-96} = 2^{6x-98 + 2} = 2^{6x-98} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{6x-98}$$

Подставим это в неравенство и вынесем общий множитель $2^{6x-98}$:
$$4 \cdot 2^{6x-98} + 10 \cdot 2^{6x-98} > 56$$
$$2^{6x-98} \cdot (4 + 10) > 56$$
$$14 \cdot 2^{6x-98} > 56$$

—

### 3. Решение неравенства относительно $x$

Разделим обе части неравенства на 14:
$$2^{6x-98} > \frac{56}{14}$$
$$2^{6x-98} > 4$$

Представим правую часть как степень двойки: $4 = 2^2$:
$$2^{6x-98} > 2^2$$

Так как основание степени $\mathbf{2 > 1}$, мы можем перейти к неравенству показателей, сохранив знак неравенства:
$$6x — 98 > 2$$
$$6x > 100$$
$$x > \frac{100}{6}$$
$$x > \frac{50}{3}$$

—

### 4. Нахождение наименьшего целого решения

$$\frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3} \approx 16,666…$$

Требуется найти наименьшее целое число $x$, которое удовлетворяет условию $x > 16,666…$.
Наименьшее целое число, большее $16,666…$, это $\mathbf{17}$.

**Ответ:** 17

1. Упростим уравнение:

   • Заметим, что 2sin3xcos3x = sin6x (формула двойного угла синуса).
   • Уравнение принимает вид: sin6x — sin6xsin10x = 0.
   • Вынесем sin6x за скобки: sin6x(1 — sin10x) = 0.

2. Решим уравнение:

   • Уравнение распадается на два: а) sin6x = 0; б) 1 — sin10x = 0.

3. Решим уравнение sin6x = 0:

   • 6x = πn, где n ∈ Z.
   • x = (πn)/6 = 30°n.

4. Решим уравнение 1 — sin10x = 0:

   • sin10x = 1.
   • 10x = π/2 + 2πk, где k ∈ Z.
   • x = (π/20) + (πk/5) = 9° + 36°k.

5. Найдем корни на промежутке (-150°; -55°):

   • Для sin6x = 0:
     • Подставляем различные значения n, чтобы найти корни в заданном промежутке.
     • При n = -4: x = -120°.
     • При n = -3: x = -90°.
     • При n = -2: x = -60°.
   • Для sin10x = 1:
     • Подставляем различные значения k, чтобы найти корни в заданном промежутке.
     • При k = -3: x = -99°.

6. Запишем различные корни на промежутке (-150°; -55°):

   • -120°, -99°, -90°, -60°.

7. Найдем сумму корней:

   • (-120°) + (-99°) + (-90°) + (-60°) = -369°.

Ответ:

Сумма различных корней уравнения на промежутке (-150°; -55°) равна -369°.

Требуется найти (в градусах) сумму различных корней уравнения $2\sin 3x \cos 3x — \sin 6x \sin 10x = 0$ на промежутке $(-150^{\circ}; -55^{\circ})$.

—

### 1. Упрощение уравнения

Используем формулу **синуса двойного угла**: $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$.
В нашем случае $\alpha = 3x$, следовательно $2\sin 3x \cos 3x = \sin (2 \cdot 3x) = \sin 6x$.

Подставим это в исходное уравнение:
$$\sin 6x — \sin 6x \sin 10x = 0$$

Вынесем общий множитель $\sin 6x$:
$$\sin 6x (1 — \sin 10x) = 0$$

Уравнение распадается на два независимых случая.

—

### 2. Решение первого случая: $\sin 6x = 0$

Уравнение $\sin \theta = 0$ имеет решения $\theta = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$$6x = \pi k$$
$$x = \frac{\pi k}{6} \quad \text{или в градусах:} \quad x = 30^{\circ} k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Найдем корни, попадающие в промежуток $(-150^{\circ}; -55^{\circ})$:
$$-150^{\circ} < 30^{\circ} k < -55^{\circ}$$
Разделим на $30^{\circ}$:
$$-\frac{150}{30} < k < -\frac{55}{30}$$
$$-5 < k < -1\frac{25}{30} \quad \text{или} \quad -5 < k < -1,833…$$

Целые значения $k$: $\mathbf{-4, -3, -2}$.

Соответствующие корни $x$:
* $k=-4$: $x_1 = 30^{\circ}(-4) = \mathbf{-120^{\circ}}$
* $k=-3$: $x_2 = 30^{\circ}(-3) = \mathbf{-90^{\circ}}$
* $k=-2$: $x_3 = 30^{\circ}(-2) = \mathbf{-60^{\circ}}$

—

### 3. Решение второго случая: $1 — \sin 10x = 0$

$$\sin 10x = 1$$

Уравнение $\sin \theta = 1$ имеет решения $\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
$$10x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$$
$$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi m}{5} \quad \text{или в градусах:} \quad x = 9^{\circ} + 36^{\circ} m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Найдем корни, попадающие в промежуток $(-150^{\circ}; -55^{\circ})$:
$$-150^{\circ} < 9^{\circ} + 36^{\circ} m < -55^{\circ}$$

Вычтем $9^{\circ}$:
$$-159^{\circ} < 36^{\circ} m < -64^{\circ}$$

Разделим на $36^{\circ}$:
$$-\frac{159}{36} < m < -\frac{64}{36}$$
$$-4,416… < m < -1,777…$$

Целые значения $m$: $\mathbf{-4, -3, -2}$.

Соответствующие корни $x$:
* $m=-4$: $x_4 = 9^{\circ} + 36^{\circ}(-4) = 9^{\circ} — 144^{\circ} = \mathbf{-135^{\circ}}$
* $m=-3$: $x_5 = 9^{\circ} + 36^{\circ}(-3) = 9^{\circ} — 108^{\circ} = \mathbf{-99^{\circ}}$
* $m=-2$: $x_6 = 9^{\circ} + 36^{\circ}(-2) = 9^{\circ} — 72^{\circ} = \mathbf{-63^{\circ}}$

—

### 4. Нахождение суммы различных корней

Все найденные корни различны:
$$X = \{-120^{\circ}, -90^{\circ}, -60^{\circ}, -135^{\circ}, -99^{\circ}, -63^{\circ}\}$$

Сумма корней:
$$\Sigma x = (-120) + (-90) + (-60) + (-135) + (-99) + (-63)$$
$$\Sigma x = (-120 — 90 — 60) + (-135 — 99 — 63)$$
$$\Sigma x = (-270) + (-297)$$
$$\Sigma x = \mathbf{-567^{\circ}}$$

—

**Ответ:** -567

1. Ограничение:

   • Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому x + 12 > 0, то есть x > -12.

2. Замена переменной:

   • Пусть y = log₃(x + 12). Неравенство примет вид: y² — y — 6 < 0.

3. Решение квадратного неравенства:

   • Разложим квадратный трехчлен на множители: (y — 3)(y + 2) < 0.
   • Решением неравенства является промежуток -2 < y < 3.

4. Вернемся к исходной переменной:

   • -2 < log₃(x + 12) < 3.

5. Решение логарифмического неравенства:

   • Представим числа -2 и 3 в виде логарифмов по основанию 3: log₃(3⁻²) < log₃(x + 12) < log₃(3³).
   • Так как основание логарифма 3 > 1, неравенство можно записать без изменения знаков: 3⁻² < x + 12 < 3³. 1/9 < x + 12 < 27.

6. Выразим x:

   • Вычтем 12 из всех частей неравенства: 1/9 — 12 < x < 27 — 12. -107/9 < x < 15. -11.888… < x < 15.

7. Учитываем ограничение x > -12:

   • Решением неравенства с учетом ограничения является промежуток -11.888… < x < 15.

8. Найдем наименьшее и наибольшее целые решения:

   • Наименьшее целое решение равно -11.
   • Наибольшее целое решение равно 14.

9. Найдем произведение наименьшего и наибольшего целых решений:

   • (-11) * 14 = -154.

Ответ:

Произведение наименьшего целого решения на наибольшее целое решение неравенства равно -154.

Требуется найти произведение наименьшего целого решения на наибольшее целое решение неравенства:
$$\log_3^2(x + 12) — \log_3(x + 12) — 6 < 0$$ — ### 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных аргументов: $$x + 12 > 0 \implies \mathbf{x > -12}$$

—

### 2. Замена переменной и решение квадратного неравенства

Введем замену: $\mathbf{t = \log_3(x + 12)}$. Неравенство примет вид:
$$t^2 — t — 6 < 0$$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 — t — 6 = 0$. По теореме Виета:
$$t_1 + t_2 = 1$$
$$t_1 \cdot t_2 = -6$$
Корни: $\mathbf{t_1 = -2}$ и $\mathbf{t_2 = 3}$.

Так как ветви параболы $y = t^2 — t — 6$ направлены вверх, неравенство $t^2 — t — 6 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями:
$$-2 < t < 3$$

—

### 3. Обратная замена и решение относительно $x$

Подставим $\log_3(x + 12)$ обратно вместо $t$:
$$-2 < \log_3(x + 12) < 3$$ Перейдем к основанию 3. Так как основание $\mathbf{3 > 1}$, знак неравенства сохраняется:
$$3^{-2} < x + 12 < 3^3$$
$$\frac{1}{9} < x + 12 < 27$$

Вычтем 12 из всех частей неравенства:
$$\frac{1}{9} — 12 < x < 27 — 12$$
$$\frac{1}{9} — \frac{108}{9} < x < 15$$
$$-\frac{107}{9} < x < 15$$

Переведем $\frac{107}{9}$ в смешанную дробь: $\frac{107}{9} = 11 \frac{8}{9} \approx 11,888…$
$$-11 \frac{8}{9} < x < 15$$ — ### 4. Учет ОДЗ и нахождение целых решений Условие $x > -12$ (ОДЗ) выполняется, так как $-11 \frac{8}{9} > -12$.

* **Наименьшее целое решение ($x_{min}$):** Наименьшее целое число, строго большее $-11 \frac{8}{9}$, это $\mathbf{-11}$.
* **Наибольшее целое решение ($x_{max}$):** Наибольшее целое число, строго меньшее $15$, это $\mathbf{14}$.

### 5. Нахождение произведения

Требуется найти произведение наименьшего и наибольшего целых решений:
$$\text{Произведение} = x_{min} \cdot x_{max} = (-11) \cdot 14 = \mathbf{-154}$$

—

**Ответ:** -154

1. Отношение площадей:

   • Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает подобную пирамиду.
   • Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения соответствующих линейных размеров (в данном случае, высот).

2. Обозначим:

   • Пусть S — площадь основания пирамиды.
   • Пусть S_сеч — площадь сечения пирамиды.
   • Высота пирамиды делится в отношении 5:3, считая от вершины. Это означает, что высота малой пирамиды составляет 5/8 от высоты исходной пирамиды.

3. Запишем отношение площадей:

   • (\frac{S_{сеч}}{S} = (\frac{5}{8})^2 = \frac{25}{64})

4. Выразим площадь сечения:

   • (S_{сеч} = \frac{25}{64}S)

5. Используем условие, что площадь сечения меньше площади основания на 39:

   • S — S_сеч = 39

6. Подставим выражение для S_сеч:

   • S — (\frac{25}{64}S) = 39

7. Решим уравнение относительно S:

   • (\frac{64S — 25S}{64}) = 39
   • (\frac{39S}{64}) = 39
   • S = 64

8. Найдем площадь сечения:

   • (S_{сеч} = \frac{25}{64}S = \frac{25}{64} * 64 = 25)

Ответ:

Площадь сечения пирамиды данной плоскостью равна 25.

Требуется найти площадь сечения треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, если:
1. Плоскость делит высоту в отношении $5:3$, считая от вершины пирамиды.
2. Площадь сечения $S_{сеч}$ меньше площади основания $S_{осн}$ на 39, то есть $S_{осн} — S_{сеч} = 39$.

—

### 1. Коэффициент подобия

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной.
Пусть $H$ — высота исходной пирамиды.
Плоскость делит высоту в отношении $5:3$ от вершины.
* Высота малой пирамиды (отсеченной): $h = 5k$.
* Оставшаяся часть высоты: $3k$.
* Высота исходной пирамиды: $H = 5k + 3k = 8k$.

Коэффициент подобия $k_{под}$ между малой и исходной пирамидами равен отношению их высот:
$$k_{под} = \frac{h}{H} = \frac{5k}{8k} = \mathbf{\frac{5}{8}}$$

—

### 2. Связь между площадями

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = (k_{под})^2 = \left(\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{25}{64}$$
Отсюда выразим площадь сечения через площадь основания:
$$S_{сеч} = \frac{25}{64} S_{осн} \quad (*)$$

—

### 3. Нахождение площади сечения

По условию, площадь сечения меньше площади основания на 39:
$$S_{осн} — S_{сеч} = 39 \quad (**)$$

Подставим выражение $(*)$ в уравнение $(**)$:
$$S_{осн} — \frac{25}{64} S_{осн} = 39$$
$$\left(1 — \frac{25}{64}\right) S_{осн} = 39$$
$$\frac{64 — 25}{64} S_{осн} = 39$$
$$\frac{39}{64} S_{осн} = 39$$

Разделим обе части на 39:
$$\frac{1}{64} S_{осн} = 1$$
$$S_{осн} = 64$$

Теперь найдем площадь сечения $S_{сеч}$ с помощью условия $(**)$:
$$S_{сеч} = S_{осн} — 39 = 64 — 39 = \mathbf{25}$$

—

**Ответ:** 25

1. Преобразуем уравнение:

Перенесем второй корень в правую часть уравнения:

[\sqrt[8]{2x^2-20x+32} = \sqrt[8]{76-23x}]

Возведем обе части уравнения в восьмую степень:

[2x^2-20x+32 = 76-23x]

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

[2x^2-20x+32 — 76 + 23x = 0]

[2x^2+3x-44 = 0]

2. Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант D:

D = b² — 4ac = 3² — 4 * 2 * (-44) = 9 + 352 = 361

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

Найдем корни x₁ и x₂:

[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{361}}{2 * 2} = \frac{-3 + 19}{4} = \frac{16}{4} = 4]

[x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 — \sqrt{361}}{2 * 2} = \frac{-3 — 19}{4} = \frac{-22}{4} = -5,5]

3. Найдем сумму корней:

x₁ + x₂ = 4 + (-5,5) = -1,5

4. Увеличим сумму корней в 6 раз:

-1,5 * 6 = -9

Ответ:

Полученный результат, увеличенный в 6 раз, равен -9.

Требуется найти сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения $\sqrt[8]{2x^2 — 20x + 32} — \sqrt[8]{76 — 23x} = 0$. В ответ записать полученный результат, увеличенный в 6 раз.

—

### 1. Преобразование и ОДЗ

Иррациональное уравнение с корнями чётной степени:
$$\sqrt[8]{2x^2 — 20x + 32} = \sqrt[8]{76 — 23x}$$

**Условие 1 (ОДЗ):** Так как корни чётной степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
$$\begin{cases} 2x^2 — 20x + 32 \ge 0 \quad (*) \\ 76 — 23x \ge 0 \quad (**) \end{cases}$$

**Условие 2 (Уравнение):** При равенстве корней равны и их подкоренные выражения:
$$2x^2 — 20x + 32 = 76 — 23x$$

### 2. Решение основного уравнения

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$$2x^2 — 20x + 23x + 32 — 76 = 0$$
$$2x^2 + 3x — 44 = 0$$

Найдем корни этого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 — 4ac$:
$$D = 3^2 — 4(2)(-44) = 9 + 352 = 361$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$$

Корни уравнения:
$$x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 19}{4}$$
$$x_1 = \frac{-3 + 19}{4} = \frac{16}{4} = \mathbf{4}$$
$$x_2 = \frac{-3 — 19}{4} = \frac{-22}{4} = \mathbf{-5,5}$$

### 3. Проверка корней по ОДЗ

Найденные корни должны удовлетворять ОДЗ. Так как в уравнении мы приравняли подкоренные выражения, достаточно проверить только второе условие ОДЗ: $76 — 23x \ge 0$.

* **Проверка $x_1 = 4$:**
$$76 — 23(4) = 76 — 92 = -16$$
$$-16 \ge 0 \quad \text{(ЛОЖЬ)}$$
Корень $x_1 = 4$ **не является решением** исходного уравнения.

* **Проверка $x_2 = -5,5$:**
$$76 — 23(-5,5) = 76 + 126,5 = 202,5$$
$$202,5 \ge 0 \quad \text{(ИСТИНА)}$$
Корень $x_2 = -5,5$ **является единственным решением** исходного уравнения.

*(Проверка первого условия ОДЗ: $2x^2 + 3x — 44 \ge 0$. Так как $2x^2 + 3x — 44 = 0$ для $x_2=-5,5$, то $0 \ge 0$ (ИСТИНА).)*

### 4. Нахождение итогового результата

Единственный корень уравнения — $x = -5,5$.
Требуется записать в ответ полученный результат, **увеличенный в 6 раз**:
$$\text{Результат} = 6 \cdot (-5,5) = \mathbf{-33}$$

—

**Ответ:** -33

1. Найдем производную функции: f'(x) = -x³ + 6x² + 20x

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: -x³ + 6x² + 20x = 0 -x(x² — 6x — 20) = 0

   -x = 0 или x² — 6x — 20 = 0

   Решим квадратное уравнение x² — 6x — 20 = 0: D = (-6)² — 4 * 1 * (-20) = 36 + 80 = 116 x₁,₂ = (6 ± √116) / 2 = (6 ± 2√29) / 2 = 3 ± √29

   x₁ = 3 — √29 ≈ -2.385 x₂ = 3 + √29 ≈ 8.385

   Критические точки: x = 0, x ≈ -2.385, x ≈ 8.385

3. Определим знаки производной на промежутках:

   • (-∞; -2.385): f'(-3) = -(-3)³ + 6(-3)² + 20(-3) = 27 + 54 — 60 = 21 > 0 (функция возрастает)
   • (-2.385; 0): f'(-1) = -(-1)³ + 6(-1)² + 20(-1) = 1 + 6 — 20 = -13 < 0 (функция убывает)
   • (0; 8.385): f'(1) = -(1)³ + 6(1)² + 20(1) = -1 + 6 + 20 = 25 > 0 (функция возрастает)
   • (8.385; +∞): f'(9) = -(9)³ + 6(9)² + 20(9) = -729 + 486 + 180 = -63 < 0 (функция убывает)

4. Определим промежутки возрастания функции:

   Функция возрастает на промежутках (-∞; -2.385) и (0; 8.385).

5. Найдем наибольшее целое отрицательное число из промежутков возрастания:

   a = -3

6. Найдем количество натуральных чисел из промежутков возрастания:

   n = 8 (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

7. Вычислим значение выражения a * n:

   a * n = -3 * 8 = -24

Ответ:

Значение выражения a * n равно -24.

Требуется найти значение выражения $a \cdot n$ для функции $f(x) = -\frac{x^4}{4} + 2x^3 + 10x^2 + \lg 4$, где $a$ — наибольшее целое отрицательное число из промежутков возрастания, а $n$ — количество всех натуральных чисел из этих промежутков.

—

### 1. Нахождение производной функции $f'(x)$

Для определения промежутков возрастания найдем первую производную:
$$f(x) = -\frac{x^4}{4} + 2x^3 + 10x^2 + \lg 4$$
$$f'(x) = \left(-\frac{x^4}{4}\right)’ + (2x^3)’ + (10x^2)’ + (\lg 4)’$$
$$f'(x) = -x^3 + 6x^2 + 20x$$
Производная константы $\lg 4$ равна нулю.

### 2. Нахождение критических точек

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$$-x^3 + 6x^2 + 20x = 0$$
Вынесем общий множитель $-x$:
$$-x(x^2 — 6x — 20) = 0$$

Один корень:
$$\mathbf{x_1 = 0}$$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 — 6x — 20 = 0$.
Дискриминант $D = (-6)^2 — 4(1)(-20) = 36 + 80 = 116$.
Корни:
$$x_{2, 3} = \frac{6 \pm \sqrt{116}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{29}}{2} = \mathbf{3 \pm \sqrt{29}}$$

Приближенные значения корней ($\sqrt{29} \approx 5,385$):
$$\mathbf{x_2} = 3 — \sqrt{29} \approx 3 — 5,385 = \mathbf{-2,385}$$
$$\mathbf{x_3} = 3 + \sqrt{29} \approx 3 + 5,385 = \mathbf{8,385}$$

Критические точки: $\approx -2,385; \quad 0; \quad \approx 8,385$.

### 3. Определение промежутков возрастания

Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$.
Производная $f'(x) = -x(x^2 — 6x — 20)$ является кубическим многочленом с отрицательным коэффициентом при $x^3$, поэтому график $f'(x)$ начинается сверху и проходит через критические точки, чередуя знаки.

| Интервал | $(-\infty; 3-\sqrt{29})$ | $(3-\sqrt{29}; 0)$ | $(0; 3+\sqrt{29})$ | $(3+\sqrt{29}; +\infty)$ |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| Знак $f'(x)$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ |

Промежутки возрастания:
$$\left(-\infty; 3 — \sqrt{29}\right) \quad \text{и} \quad \left(0; 3 + \sqrt{29}\right)$$
Используя приближенные значения:
$$I_1 = (-\infty; -2,385) \quad \text{и} \quad I_2 = (0; 8,385)$$

### 4. Нахождение $a$ (наибольшее целое отрицательное число)

* В промежутке $I_1 = (-\infty; -2,385)$, целые отрицательные числа: $\dots, -5, -4, -3$.
**Наибольшее** целое отрицательное число: $\mathbf{-3}$.
* В промежутке $I_2 = (0; 8,385)$ нет отрицательных чисел.

Таким образом, $\mathbf{a = -3}$.

### 5. Нахождение $n$ (количество натуральных чисел)

* В промежутке $I_1 = (-\infty; -2,385)$ нет натуральных чисел (натуральные числа начинаются с 1).
* В промежутке $I_2 = (0; 8,385)$ натуральные числа: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.
**Количество** натуральных чисел: $\mathbf{n = 8}$.

### 6. Вычисление искомого выражения

Найдем значение выражения $a \cdot n$:
$$a \cdot n = (-3) \cdot 8 = \mathbf{-24}$$

—

**Ответ:** -24

1. Найдем площадь основания параллелепипеда:

   • Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длин сторон AB и BC на синус угла между ними.
   • Сначала найдем синус угла ABC, зная его косинус: sin²ABC = 1 — cos²ABC = 1 — (\frac{14}{64}) = (\frac{50}{64}) = (\frac{25}{32}) sin ABC = (\sqrt{\frac{25}{32}}) = (\frac{5}{4\sqrt{2}}) = (\frac{5\sqrt{2}}{8})
   • Площадь основания ABCD равна: S_ABCD = AB * BC * sin ABC = (\sqrt{7}) * (\sqrt{2}) * (\frac{5\sqrt{2}}{8}) = (\frac{5\sqrt{7}}{4})

2. Найдем высоту параллелепипеда:

   • Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
   • V = S_ABCD * AA₁
   • (\frac{5\sqrt{7}}{2}) = (\frac{5\sqrt{7}}{4}) * AA₁
   • AA₁ = (\frac{5\sqrt{7}}{2}) / (\frac{5\sqrt{7}}{4}) = 2

3. Введем систему координат:

   • Начало координат в точке A.
   • Ось X направлена вдоль AB.
   • Ось Y направлена вдоль BC.
   • Ось Z направлена вдоль AA₁.

4. Найдем координаты точек M и N:

   • M делит AA₁ в отношении 4:1, значит, AM = (\frac{4}{5})AA₁ = (\frac{4}{5}) * 2 = (\frac{8}{5}).
   • Координаты точки M: (0; 0; (\frac{8}{5})).
   • N делит A₁B₁ в отношении 1:4, значит, A₁N = (\frac{1}{5})A₁B₁ = (\frac{1}{5})(\sqrt{7}).
   • Координаты точки N: ((\frac{\sqrt{7}}{5}); 0; 2).

5. Найдем координаты вектора MN:

   • MN = ( (\frac{\sqrt{7}}{5}) — 0; 0 — 0; 2 — (\frac{8}{5}) ) = ( (\frac{\sqrt{7}}{5}); 0; (\frac{2}{5}) ).

6. Найдем координаты вектора BC₁:

   • BC₁ = (0 — (\sqrt{7}); (\sqrt{2}) — 0; 2 — 0) = ( -(\sqrt{7}); (\sqrt{2}); 2 ).

7. Найдем косинус угла φ между векторами MN и BC₁:

   • cosφ = (\frac{MN * BC₁}{|MN| * |BC₁|})
   • MN * BC₁ = (\frac{\sqrt{7}}{5}) * (-(\sqrt{7})) + 0 * (\sqrt{2}) + (\frac{2}{5}) * 2 = -(\frac{7}{5}) + (\frac{4}{5}) = -(\frac{3}{5})
   • |MN| = (\sqrt{(\frac{\sqrt{7}}{5})^2 + 0^2 + (\frac{2}{5})^2}) = (\sqrt{\frac{7}{25} + \frac{4}{25}}) = (\sqrt{\frac{11}{25}}) = (\frac{\sqrt{11}}{5})
   • |BC₁| = (\sqrt{(-\sqrt{7})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2^2}) = (\sqrt{7 + 2 + 4}) = (\sqrt{13})
   • cosφ = (\frac{-3/5}{(\sqrt{11}/5) * \sqrt{13}}) = (\frac{-3}{\sqrt{143}})

8. Вычислим значение выражения (8\sqrt{66})cosφ:

   • (8\sqrt{66})cosφ = (8\sqrt{66}) * (\frac{-3}{\sqrt{143}}) = (8\sqrt{66}) * (\frac{-3}{\sqrt{1113}}) = (8\sqrt{611}) * (\frac{-3}{\sqrt{11*13}}) = (8 * \frac{-3\sqrt{6}}{\sqrt{13}}) = (-\frac{24\sqrt{6}}{\sqrt{13}}) = (-\frac{24\sqrt{78}}{13})

Ответ:

Значение выражения (8\sqrt{66})cosφ равно (-\frac{24\sqrt{78}}{13}).

Требуется найти значение выражения $8\sqrt{66} \cdot \cos \varphi$, где $\varphi$ — угол между прямыми $MN$ и $BC_1$ в прямом параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

### 1. Нахождение параметров основания

Параллелепипед прямой, следовательно боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание $ABCD$ — параллелограмм.
* Стороны: $AB = \sqrt{7}$, $BC = \sqrt{2}$.
* Косинус угла: $\cos \angle ABC = -\frac{\sqrt{14}}{8}$.
* Площадь основания $S_{осн}$: $S_{осн} = AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$.
$$\sin^2 \angle ABC = 1 — \cos^2 \angle ABC = 1 — \left(-\frac{\sqrt{14}}{8}\right)^2 = 1 — \frac{14}{64} = \frac{64 — 14}{64} = \frac{50}{64}$$
$$\sin \angle ABC = \sqrt{\frac{50}{64}} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$$
$$S_{осн} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{8} = \frac{5\sqrt{14} \cdot \sqrt{2}}{8} = \frac{5\sqrt{28}}{8} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{7}}{8} = \frac{5\sqrt{7}}{4}$$

### 2. Нахождение высоты параллелепипеда ($H$)

Объем $V = S_{осн} \cdot H$. Известно, что $V = \frac{5\sqrt{7}}{2}$.
$$H = AA_1 = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{5\sqrt{7}/2}{5\sqrt{7}/4} = \mathbf{2}$$
Значит, высота $H = 2$.

### 3. Нахождение координат точек

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $B(0, 0, 0)$.
Ось $Bx$ вдоль $BA$, ось $Bz$ вдоль $BB_1$. Ось $By’$ (вдоль $BC$ в основании) не перпендикулярна $BA$. Для удобства расчетов используем метод координат в декартовой системе, поместив начало в $B$.

* **Координаты вершин основания:**
* $B = (0, 0, 0)$
* $A = (\sqrt{7}, 0, 0)$ (Так как $BA$ лежит на оси $x$)
* **Координаты $C$**: $C$ лежит в плоскости $xy$. $BC = \sqrt{2}$. $x_C = BC \cos \angle ABC = \sqrt{2} \left(-\frac{\sqrt{14}}{8}\right) = -\frac{\sqrt{28}}{8} = -\frac{2\sqrt{7}}{8} = -\frac{\sqrt{7}}{4}$. $y_C = BC \sin \angle ABC = \sqrt{2} \frac{5\sqrt{2}}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
$$C = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}, \frac{5}{4}, 0\right)$$
* **Координаты верхнего основания (так как $H=2$):**
* $B_1 = (0, 0, 2)$
* $A_1 = (\sqrt{7}, 0, 2)$
* $C_1 = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}, \frac{5}{4}, 2\right)$

### 4. Координаты точек $M$ и $N$

* Точка $M$ на $AA_1$, $AM : MA_1 = 4:1$. $M$ делит $AA_1$ в отношении $4:1$.
$$M = \frac{1 \cdot A + 4 \cdot A_1}{5}$$
$$M = \left(\sqrt{7}, 0, \frac{1 \cdot 0 + 4 \cdot 2}{5}\right) = \left(\sqrt{7}, 0, \frac{8}{5}\right)$$
* Точка $N$ на $A_1B_1$, $A_1N : NB_1 = 1:4$. $N$ делит $A_1B_1$ в отношении $1:4$.
$$N = \frac{4 \cdot A_1 + 1 \cdot B_1}{5}$$
$$N = \left(\frac{4\sqrt{7} + 1\cdot 0}{5}, \frac{4\cdot 0 + 1\cdot 0}{5}, \frac{4\cdot 2 + 1\cdot 2}{5}\right) = \left(\frac{4\sqrt{7}}{5}, 0, \frac{10}{5}\right) = \left(\frac{4\sqrt{7}}{5}, 0, 2\right)$$

### 5. Векторы $\vec{MN}$ и $\vec{BC_1}$

* **Вектор $\vec{MN}$**:
$$\vec{MN} = N — M = \left(\frac{4\sqrt{7}}{5} — \sqrt{7}, 0 — 0, 2 — \frac{8}{5}\right) = \left(-\frac{\sqrt{7}}{5}, 0, \frac{2}{5}\right)$$
* **Вектор $\vec{BC_1}$**:
$$\vec{BC_1} = C_1 — B = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}, \frac{5}{4}, 2\right)$$

### 6. Вычисление косинуса угла $\varphi$

Косинус угла $\varphi$ между векторами $\vec{MN}$ и $\vec{BC_1}$ находится по формуле:
$$\cos \varphi = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{BC_1}|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{BC_1}|}$$

* **Скалярное произведение $\vec{MN} \cdot \vec{BC_1}$**:
$$\vec{MN} \cdot \vec{BC_1} = \left(-\frac{\sqrt{7}}{5}\right)\left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right) + 0 \cdot \frac{5}{4} + \frac{2}{5} \cdot 2 = \frac{7}{20} + 0 + \frac{4}{5} = \frac{7 + 16}{20} = \frac{23}{20}$$

* **Модуль $|\vec{MN}|$**:
$$|\vec{MN}|^2 = \left(-\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{7}{25} + \frac{4}{25} = \frac{11}{25} \implies |\vec{MN}| = \frac{\sqrt{11}}{5}$$

* **Модуль $|\vec{BC_1}|$**:
$$|\vec{BC_1}|^2 = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2 + 2^2 = \frac{7}{16} + \frac{25}{16} + 4 = \frac{32}{16} + 4 = 2 + 4 = 6 \implies |\vec{BC_1}| = \sqrt{6}$$

* **$\cos \varphi$**:
$$\cos \varphi = \frac{23/20}{(\sqrt{11}/5) \cdot \sqrt{6}} = \frac{23/20}{\sqrt{66}/5} = \frac{23}{20} \cdot \frac{5}{\sqrt{66}} = \frac{23}{4\sqrt{66}}$$

### 7. Вычисление итогового выражения

Требуется найти значение выражения $8\sqrt{66} \cdot \cos \varphi$:
$$8\sqrt{66} \cdot \cos \varphi = 8\sqrt{66} \cdot \frac{23}{4\sqrt{66}}$$
Сократим $\sqrt{66}$ и $8/4=2$:
$$8\sqrt{66} \cdot \frac{23}{4\sqrt{66}} = 2 \cdot 23 = \mathbf{46}$$

—

**Ответ:** 46